Coordenadas cilíndricas parabólicas

Em matemática, as coordenadas cilíndricas parabólicas são um sistema de coordenadas ortogonais tridimensionais que resultam da projeção do sistema de coordenadas parabólicas bidimensional na direção perpendicular a $z$. Assim, as superfícies coordenadas são cilindros parabólicos confocais. As coordenadas cilíndricas parabólicas possuem inúmeras aplicações como, por exemplo, na teoria potencial das arestas.

Superfícies coordenadas das coordenadas cilíndricas parabólicas. O cilindro parabólico vermelho corresponde a σ = 2, enquanto o cilindro parabólico amarelo corresponde a τ = 1. O plano azul corresponde a z= 2. Estas superfícies se cruzam no ponto P (mostrado como uma esfera preta), cujas coordenadas cartesianas são aproximadamente (2, -1,5, 2).

Definição básica

Sistema de coordenadas parabólicas mostrando as curvas com σ e τ constantes. Os eixos horizontal e vertical são as coordenadas x e y, respectivamente. Tais coordenadas são projetadas ao longo do eixo z, e assim este diagrama vale para qualquer valor da coordenada z.

As coordenadas cilíndricas parabólicas $(\sigma ,\tau ,z)$ são definidas em termos das coordenadas cartesianas (x,y,z)  por:

$x=\sigma \tau \,$

$y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)$

$z=z\,$

As superfícies com $\sigma$ constante formam cilindros parabólicos confocais de equações

$2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}$

com concavidade voltada para a direção $+y$, ao passo que as superfícies com $\tau$ constante formam cilindros parabólicos confocais de equações

$2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}$

com concavidade voltada para a direção oposta, isto é, na direção $-y$. Os focos de todos estes cilindros parabólicos estão localizados ao longo da reta definida por $x=y=0$. O raio r tem uma equação simples, a saber,

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)$

que é útil na resolução da equação de Hamilton-Jacobi em coordenadas parabólicas para o problema da forca central inversa ao quadrado da distância, da mecânica. Para mais detalhes, ver o artigo vetor de Laplace-Runge-Lenz.

Fatores de escala

Os fatores de escala para as coordenadas cilíndricas parabólicas $\sigma$ e $\tau$ são:

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}$

$h_{z}=1\,$

O elemento infinitesimal de volume é

$dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{z}=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau dz$

e o laplaciano é igual a

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$

Outros operadores diferenciais tais como $\nabla \cdot \mathbf {F}$ e $\nabla \times \mathbf {F}$ podem ser expressos nas coordenadas $(\sigma ,\tau )$ substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais em coordenadas ortogonais.

Harmônicos cilindro parabólico

Uma vez que todas as superfícies com σ, τ and z  são conicóides, a equação de Laplace é separável em coordenadas cilíndricas parabólicas. Usando a técnica da separação de variáveis, uma solução independente para a equação de Laplace pode ser escrita como:

$V=S(\sigma )\,T(\tau )\,Z(z)$

E a equaçao de Laplace, ao ser dividida por V , é escrita como:

${\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0$

Uma vez que a equação em Z  está separada dos outros termos, podemos escrever

${\frac {\ddot {Z}}{Z}}=-m^{2}$

Onde m  é constante. A solução para Z(z) é:

$Z_{m}(z)=A_{1}\,e^{imz}+A_{2}\,e^{-imz}\,$

Substituindo $-m^{2}$ por ${\ddot {Z}}/Z$ , a equação de Laplace agora pode ser escrita como:

$\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})$

Ainda podemos separar as funções S  e T  e introduzir uma constante $n^{2}$ para obter:

${\ddot {S}}-(m^{2}\sigma ^{2}+n^{2})S=0$

${\ddot {T}}-(m^{2}\tau ^{2}-n^{2})T=0$

As soluções para essas equaçoes são as funções cilindro parabólico

$S_{mn}(\sigma )=A_{3}\,y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}\,y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})$

$T_{mn}(\tau )=A_{5}\,y_{1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}\,y_{2}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})$

Os harmônicos cilindro parabólico para (m,n) são então o produto das soluções. A combinação reduz o número de constantes e a solução geral para a equação de Laplace pode ser escrita como:

$V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}A_{mn}S_{mn}T_{mn}Z_{m}\,$

Aplicações

As aplicações clássicas das coordenadas cilíndricas parabólicas encontram-se na resolução de equações diferenciais parciais, como por exemplo a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as quais essas coordenadas permitem a utilização da técnica de separação das variáveis. Um exemplo típico seria o [[campo eletrico em torno de uma placa plana semi-infinita condutora.

Ver também

• Coordenadas ortogonais
• Sistemas de coordenadas ortogonais bidimensionais:

• • Sistema de coordenadas cartesianas
  • Sistema de coordenadas polares
  • Sistema de coordenadas parabólicas

• Coordenadas bipolares
• Coordenadas hiperbólicas
• Coordenadas elípticas

• Sistemas de coordenadas ortogonais tridimensionais:

• • Sistema de coordenadas cartesianas
  • Sistema de coordenadas cilíndricas
  • Sistema de coordenadas esféricas
  • Sistema de coordenadas parabólicas
  • Coordenadas cilíndricas parabólicas
  • Coordenadas paraboloidais
  • Coordenadas esferoidais oblatas
  • Coordenadas esferoidais prolatas
  • Coordenadas elipsoidais
  • Coordenadas cilíndricas elípticas
  • Coordenadas toroidais
  • Coordenadas biesféricas
  • Coordenadas cilíndricas bipolares
  • Coordenadas cônicas
  • Coordenadas cíclides anel-plano
  • Coordenadas cíclides disco plano
  • Coordenadas bicíclides
  • Coordenadas cap-cíclides

Referências

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Parabolic cylindrical coordinates», especificamente desta versão.

• Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 658. ISBN [[Special:BookSources/0-07-043316-X, |0-07-043316-X, <span class="noprint">[[Library of Congress Control Number|LCCN]]&nbsp;[http://lccn.loc.gov/52011515 52-11515]</span>]] 
• Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 186–187.  

• Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 181. , ASIN B0000CKZX7 

• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. p. 96.  

• Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114. ISBN 0-86720-293-9  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.

• Moon P, Spencer DE (1988). «Parabolic-Cylinder Coordinates (μ, ν, z)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd, 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. pp. 21–24 (Table 1.04). ISBN 978-0387184302 

Ligações externas

• Descrição do MathWorld para as coordenadas cilíndricas parabólicas – inglês