Esfera de Riemann

Na matemática, a esfera de Riemann é uma maneira de ampliar o plano de números complexos com um ponto no infinito adicional, de uma maneira que faz com que expressões como

A esfera de Riemann pode ser visualizada como o plano de números complexos "empacotados" em torno de uma esfera (por alguma forma de projeção estereográfica — detalhes são vistos abaixo).

$1/0=\infty$

sejam bem adequadas e úteis, pelo menos em determinados contextos. É nomeado devido ao matemático do século XIX Bernhard Riemann. É também chamada

• linha projetiva complexa, notada $\mathbb {CP} ^{1}$, e
• plano complexo estendido, notado $\mathbb {\hat {C}}$ ou $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$.

Em um nível puramente algébrico, os números complexos, com um elemento extra infinito, constituem um sistema conhecido como números complexos estendidos. Aritmética com o infinito não obedece todas as regras usuais da álgebra, e assim os números complexos estendidos não formam um corpo. No entanto, a esfera de Riemann é geométrica e analiticamente bem estabelecida, até ao infinito, é uma variedade complexa monodimensional, também chamado de superfície de Riemann.

Em análise complexa, a esfera de Riemann facilita uma teoria elegante de funções meromórficas. A esfera de Riemann está presente na geometria projetiva e geometria algébrica como um exemplo fundamental de uma variedade complexa, espaço projetivo e variedade algébrica. Ele também encontra utilidade em outras disciplinas que dependem de análise e geometria, como a mecânica quântica e outros ramos da física.

Ver também

• Geometria conforme
• Razão anarmônica
• Fibração de Hopf
• Dessin d'enfant (desenho de criança)

Referências

• Brown, James e Churchill, Ruel (1989). Complex Variables and Applications. New York: McGraw-Hill. ISBN 0070109052.
• Griffiths, Phillip and Harris, Joseph (1978). Principles of Algebraic Geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1.
• Penrose, Roger (2005). The Road to Reality. New York: Knopf. ISBN 0-679-45443-8.
• Rudin, Walter (1987). Real and Complex Analysis. New York: McGraw-Hill. ISBN 0071002766.

Ligações externas

• «Moebius Transformations Revealed» , por Douglas N. Arnold e Jonathan Rogness (um video por dois professores da University of Minnesota explicando e ilustrando tranformações de Möbius usando projeção estereográfica de uma esfera)
• «Riemann sphere» (em inglês)  - PlanetMath
• «Riemann Sphere» (em inglês)  - Wolfram MathWorld