Estabilidade estrutural

Na Teoria dos sistemas dinâmicos, um sistema é dito estruturalmente estável caso as propriedades topológicas do sistema dinâmico se mantenham as mesmas após uma pequena perturbação da transformação que define a dinâmica.

Definição

Um difeomorfismo de classe $C^{r}$ $f$ definido sobre uma variedade suave $M$ define um sistema dinâmico estruturalmente estável sobre $M$ caso exista uma vizinhança $V$ de f no espaço dos difeomorfismos de classe $C^{r}$ sobre $M$ (munido da topologia de Whitney), de forma que qualquer difeomorfismo $g$ em $V$ seja topologicamente equivalente a $f$. De forma análoga, dizemos que $f$ é estruturalmente estável.

O conceito de estabilidade estrutural se estende mutatis mutandis para fluxos.

História

O matemático brasileiro Maurício Peixoto é considerado um dos criadores do conceito de estabilidade estrutural, baseando-se no trabalho dos matemáticos russos Alexander Andronov e Lev Pontrjagin, que estudaram as perturbações de um campo X definido em um disco bidimensional, com $X$ transversal à fronteira do disco. Tal condição permite estender $X$ para a esfera $S^{2}$, e no início da década de 1960 Peixoto demonstrou um teorema de necessidade e suficiência para estabilidade estrutural de fluxos sobre a $S^{2}$, resultado logo depois generalizado por Peixoto para superfícies bidimensionais orientáveis em geral.

Exemplos

Os sistemas Morse-Smale são um exemplo de sistema dinâmicos estruturalmente estáveis. Para superfícies bidimensionais compactas e orientáveis, o conjunto dos campos estrutralmente estáveis formam um conjunto genérico. Por outro lado, o conjunto dos difeomorfismos estruturalmente estáveis sobre uma variedade de dimensão maior do que dois nunca é denso no espaço dos difeomorfismos.