Estatística de Maxwell–Boltzmann

Em mecânica estatística, a estatística de Maxwell–Boltzmann descreve a distribuição estatística de partículas materiais em vários estados de energia em equilíbrio térmico, quando a temperatura é alta o suficiente e a densidade é baixa suficiente para tornar os efeitos quânticos negligenciáveis. A estatística Maxwell–Boltzmann é consequentemente aplicável a quase qualquer fenômeno terrestre para os quais a temperatura está acima de poucas dezenas de kelvins.

Gráfico da distribuição de Maxwell-Boltzmann.

O número esperado de partículas com energia $\epsilon _{i}$ para a estatística de Maxwell–Boltzmann é $N_{i}$ onde:

${\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac {g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}{Z}}$

onde:

• $N_{i}$ é o número de partículas no estado i
• $\epsilon _{i}$ é a energia do estado i-ésimo
• $g_{i}$ é a degenerescência do nível de energia i, o número de estados dos partículas (excluindo o estado de "partícula livre") com energia $\epsilon _{i}$
• $\mu$ é o potencial químico
• $k$ é a constante de Boltzmann
• $T$ é a temperatura absoluta
• $N$ é o número total de partículas

$N=\sum _{i}N_{i}\,$

• $Z$ é a função partição

$Z=\sum _{i}g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}$

• $e^{(...)}$ é a função exponencial, sendo e o número de Euler

A distribuição de Maxwell-Boltzmann tem sido aplicada especialmente à teoria cinética dos gases, e outros sistemas físicos, além de em econofísica para predizer a distribuição da renda. Na realidade a distribuição de Maxwell-Boltzmann é aplicável a qualquer sistema formado por N "partículas" ou "indivíduos" que interacambiam estacionariamente entre si uma certa magnitude $m$ e cada um deles têm uma quantidade $m_{i}$ da magnitude $m$ e ao longo do tempo ocorre que $\sum _{i=1}^{N}M=m_{1}+m_{2}+...+m_{N}$.

Limites de aplicação

Para um sistema de partículas quânticas, a hipótese de que $N_{i}$ seja substancialmente menor que $g_{i}$ para os estados diferentes do fundamental em geral não se cumprirá e é necessário recorrer-se à estatística de Bose-Einstein se as partículas são bosônicas ou à estatística de Fermi-Dirac se as partículas são fermiônicas.

As estatísticas de Bose–Einstein e Fermi–Dirac podem ser expressas como:

$N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}\pm 1}}$

Assumindo que o valor mínimo de $\epsilon _{i}$ é bastante pequeno, se pode verificar que a condição na qual a distribuição de Maxwell-Boltzmann é válida é quando se cumpre que:

$e^{-\mu /kT}\gg 1$

Para um gás ideal, podemos calcular os potenciais químicos utilizando o desenvolvimento da equação de Sackur–Tetrode para demonstrar que:

$\mu =\left({\frac {\partial E}{\partial N}}\right)_{S,V}=-kT\ln \left({\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right)$

onde $E$ é a energia interna total, $S$ é a entropia, $V$ é o volume, e $\Lambda$ é o comprimento de onda térmico de de Broglie. A condição de aplicação para a distribuição Maxwell-Boltzmann em um gás ideal resulta:

${\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\gg 1.$

Ver também

• Estatística de Bose-Einstein
• Estatística de Fermi-Dirac