Forma indeterminada

No cálculo e em outros ramos da análise matemática, os limites de uma combinação algébrica de funções em uma variável independente podem frequentemente ser avaliados pela substituição dessas funções por seus limites individuais. Se a expressão obtida após esta substituição não fornecer informação suficiente para determinar o limite da combinação, então a expressão é considerada uma forma indeterminada . Mais especificamente, uma forma indeterminada é uma expressão matemática envolvendo $0$, $1$ e $\infty$. É obtida pela aplicação do teorema do limite algébrico no processo de tentativa de determinar um limite, mas que falha em restringir esse limite a um valor específico ou infinito (se um limite é confirmado como infinito, então não é indeterminado, mas sim determinado como infinito) e, portanto, ainda não determina o limite que se busca.

Existem várias formas indeterminadas que são normalmente consideradas na literatura:

• $0\div 0$
• ${\infty }\div {\infty }$
• $0\times \infty$
• $\infty -\infty$
• $0^{0}$
• $1^{\infty }$
• $\infty ^{0}$
• ${\sqrt[{0}]{1}}$
• ${\sqrt[{\infty }]{0}}$
• ${\sqrt[{\infty }]{\infty }}$

O exemplo mais comum de uma forma indeterminada ocorre ao determinar o limite da razão de duas funções que tendem a 0 no mesmo ponto, e é referido como "a forma indeterminada $0/0$ " .Por exemplo, como $x$ se aproximando de $0$, as proporções $x/x^{3}$, $x/x$, e $x^{2}/x$ tendem a $\infty$, $1$, e $0$ respectivamente. Nos três casos, se os limites do numerador e denominador forem substituídos, a expressão resultante é $0/0$, que é indefinido. De uma maneira geral, $0/0$ pode assumir os valores $0$, $1$, ou $\infty$, e é fácil construir exemplos semelhantes para os quais o limite é qualquer valor particular.

Então, dado que duas funções $f(x)$ e $g(x)$ ambas se aproximam de $0$ quando $x$ aproxima-se de algum ponto $c$, esse fato por si só não dá informações suficientes para avaliar o limite

 

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.$

Nem toda expressão algébrica indefinida corresponde a uma forma indeterminada. Por exemplo, a expressão $1/0$ é indefinido como um número real, mas não corresponde a uma forma indeterminada, pois qualquer limite que se apresente dessa forma irá divergir para o infinito, já que, nos casos em que acontece, o denominador se aproxima de 0, mas nunca é 0.

Uma expressão que surge por outras formas que não a aplicação do teorema do limite algébrico pode ter a mesma aparência de uma forma indeterminada. No entanto, não é apropriado chamar uma expressão de "forma indeterminada" se a expressão for feita fora do contexto de determinação de limites. Por exemplo, $0/0$ que surge da substituição $0$ para $x$ na equação $f(x)=|x|/(|x-1|-1)$ não é uma forma indeterminada, uma vez que esta expressão não é feita na determinação de um limite (na verdade é indefinida como divisão por zero ). Outro exemplo é a expressão $0^{0}$ . Esta expressão pode ser deixada indefinida ou ser definida como igual $1$, dependendo do campo de aplicação e do autor. Para mais informações, consulte o artigo Zero à potência de zero . Observe que $0^{\infty }$ e outras expressões envolvendo infinito não são formas indeterminadas .

Alguns exemplos e não exemplos

Forma indeterminada 0⁰

• 
  Fig. 1: y = xx
• 
  Fig. 2: y = x²x
• 
  Fig. 3: y = sin xx
• 
  Fig. 4: y = x − 49√x − 7 (para x = 49)
• 
  Fig. 5: y = axx onde a = 2
• 
  Fig. 6: y = xx³

A forma indeterminada $0/0$ é encontrada regularmente em cálculo, porque com frequência surge na avaliação de derivadas usando sua definição em termos de limite.

Como acima mencionado,

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x}}=1,\qquad$ (see fig. 1)

enquanto

$\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x}}=0,\qquad$ (see fig. 2)

Isso é o suficiente para mostrar que $0/0$ é uma forma indeterminada. Outros exemplos com esta forma indeterminada incluem

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1,\qquad$ (see fig. 3)

e

$\lim _{x\to 49}{\frac {x-49}{{\sqrt {x}}\,-7}}=14,\qquad$ (see fig. 4)

A substituição direta do número que $x$ se aproxima em qualquer uma dessas expressões mostra que esses são exemplos correspondem à forma indeterminada $0/0$, mas esses limites podem assumir muitos valores diferentes. Qualquer valor desejado $a$ pode ser obtido para esta forma indeterminada da seguinte forma:

$\lim _{x\to 0}{\frac {ax}{x}}=a.\qquad$ (see fig. 5)

O valor que $\infty$ também pode ser obtido (no sentido de tender ao infinito):

$\lim _{x\to 0}{\frac {x}{x^{3}}}=\infty .\qquad$ (see fig. 6)

• 
  Fig. 7: y = x ⁰
• 
  Fig. 8: y = 0 ^x

Os limites a seguir ilustram que a expressão $0^{0}$ é uma forma indeterminada:

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1,\qquad$ (see fig. 7)

$\lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0.\qquad$ (see fig. 8)

Assim, em geral, sabendo que $\textstyle \lim _{x\to c}f(x)\;=\;0\!$ e $\textstyle \lim _{x\to c}g(x)\;=\;0$ não é suficiente para avaliar o limite

 

$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}.$

Se as funções $f$ e $g$ são analíticas em $c$, e $f$ é positivo para $x$ suficientemente perto (mas não igual) para $c$, então o limite de $f(x)^{g(x)}$ será $1$ . Caso contrário, use a transformação na tabela abaixo para avaliar o limite.

Expressões que não são formas indeterminadas

A expressão $1/0$ não é comumente considerado como uma forma indeterminada, porque não há uma gama infinita de valores que $f/g$ poderia se aproximar. Especificamente, se $f$ se aproxima de $1$ e $g$ se aproxima de $0$, então $f$ e $g$ podem ser escolhido para que:

1. $f/g$ se aproxime de $+\infty$
2. $f/g$ se aproxima de $-\infty$
3. O limite não existe.

Em cada caso, o valor absoluto $|f/g|$ se aproxima de $+\infty$, e então o quociente $f/g$ deve divergir, no sentido dos números reais estendidos (no quadro da linha real projetivamente estendida, o limite é o infinito sem sinal $\infty$ em todos os três casos ). Da mesma forma, qualquer expressão do formulário $a/0$ com $a\neq 0$ (Incluindo $a=+\infty$ e $a=-\infty$ ) não é uma forma indeterminada, uma vez que o quociente que dá origem a tal expressão sempre diverge.

A expressão $0^{\infty }$ não é uma forma indeterminada. A expressão $0^{+\infty }$, obtida considerando $\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}$, dá o limite $0$, conquanto que $f(x)$ permanece não negativo como $x$ se aproximando de $c$ . A expressão $0^{-\infty }$ é equivalente a $1/0$ ; E se $f(x)>0$ quando $x$ se aproxima de $c$, o limite sai como $+\infty$ .

Para ver porque, deixe $L=\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)},$ Onde $\lim _{x\to c}{f(x)}=0,$ e $\lim _{x\to c}{g(x)}=\infty .$ Tirando o logaritmo natural de ambos os lados e usando $\lim _{x\to c}\ln {f(x)}=-\infty ,$ concluímos que$\ln L=\lim _{x\to c}({g(x)}\times \ln {f(x)})=\infty \times {-\infty }=-\infty ,$ o que significa que $L={e}^{-\infty }=0.$

Avaliando formas indeterminadas

O adjetivo indeterminado não implica que o limite não exista, como mostram muitos dos exemplos acima. Em muitos casos, a eliminação algébrica, a regra de L'Hôpital ou outros métodos podem ser usados para manipular a expressão de forma que o limite possa ser avaliado.

Infinitesimal equivalente

Quando duas variáveis $\alpha$ e $\beta$ convergem para zero no mesmo ponto limite e $\textstyle \lim {\frac {\beta }{\alpha }}=1$, eles são chamados de infinitesimais equivalentes (equiv. $\alpha \sim \beta$ )

Além disso, se as variáveis $\alpha '$ e $\beta '$ são tais que $\alpha \sim \alpha '$ e $\beta \sim \beta '$, então:

 

Aqui está uma prova rápida:

Suponha que existam dois infinitesimais equivalentes $\alpha \sim \alpha '$ e $\beta \sim \beta '$ .

 

Para a avaliação da forma indeterminada $0/0$, pode-se fazer uso dos seguintes fatos sobre infinitesimais equivalentes (por exemplo, $x\sim \sin x$ se x ficar mais próximo de zero):

  

$x\sim \arcsin x,$

 

$x\sim \sinh x,$

 

$x\sim \tan x,$

 

$x\sim \arctan x,$

 

$x\sim \ln(1+x),$

  

$\cosh x-1\sim {\frac {x^{2}}{2}},$

 

$a^{x}-1\sim x\ln a,$

 

$e^{x}-1\sim x,$

 

$(1+x)^{a}-1\sim ax.$

Por exemplo:

 

${\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{3}}}\left[\left({\frac {2+\cos x}{3}}\right)^{x}-1\right]&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x\ln {\frac {2+\cos x}{3}}}-1}{x^{3}}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln {\frac {2+\cos x}{3}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{x^{2}}}\ln \left({\frac {\cos x-1}{3}}+1\right)\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x-1}{3x^{2}}}\\&=\lim _{x\to 0}-{\frac {x^{2}}{6x^{2}}}\\&=-{\frac {1}{6}}\end{aligned}}$

Na ^2ª igualdade, $e^{y}-1\sim y$ onde $y=x\ln {2+\cos x \over 3}$ conforme y se torna mais próximo de 0 é usado, e $y\sim \ln {(1+y)}$ onde $y={{\cos x-1} \over 3}$ é usado na ^4ª igualdade, e $1-\cos x\sim {x^{2} \over 2}$ é usado na ^5ª igualdade.

Regra de L'Hôpital

A regra de L'Hôpital é um método geral para avaliar as formas indeterminadas $0/0$ e $\infty /\infty$ . Esta regra afirma que, sob condições apropriadas

 

$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},$

onde $f'$ e $g'$ são as derivadas de $f$ e $g$ . (Observe que esta regra não se aplica a expressões $\infty /0$, $1/0$, e assim por diante, visto que essas expressões não são formas indeterminadas. ) Essas derivadas permitirão realizar a simplificação algébrica e, eventualmente, avaliar o limite.

A regra de L'Hôpital também pode ser aplicada a outras formas indeterminadas, usando primeiro uma transformação algébrica apropriada. Por exemplo, para avaliar a forma 0 ⁰ :

 

$\ln \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}.$

O lado direito tem a forma $\infty /\infty$, então a regra de L'Hôpital se aplica a ele. Observe que essa equação é válida (desde que o lado direito seja definido) porque o logaritmo natural (ln) é uma função contínua ; é irrelevante o quão bem comportado $f$ e $g$ pode (ou não) ser tão longo quanto $f$ é assintoticamente positivo. (o domínio dos logaritmos é o conjunto de todos os números reais positivos. )

Embora a regra de L'Hôpital se aplique a ambos $0/0$ e $\infty /\infty$, uma dessas formas pode ser mais útil do que a outra em um caso particular (devido à possibilidade de simplificação algébrica posteriormente). Pode-se mudar entre essas formas, se necessário, transformando $f/g$ para $(1/g)/(1/f)$ .

Lista de formas indeterminadas

A tabela a seguir lista as formas indeterminadas mais comuns e as transformações para a aplicação da regra de l'Hôpital.

Forma indeterminada	Condições	Transformação para $0/0$	Transformação para $\infty /\infty$
00	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	—	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\infty$$\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!$	—
$0\cdot \infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!$
$\infty -\infty$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!$	$\lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!$
$0^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$
$1^{\infty }$	$\lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$
$\infty ^{0}$	$\lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!$	$\lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!$

Ver também

• Divisão por zero
• Regra de L'Hôpital