Função digama

Em matemática, as funções poligama são definidas como a n-ésima derivada da função psi, que é a derivada logarítmica da função gama:

Função digama $\psi (s)$ no plano complexo. A cor de um ponto $s$ representa o valor de $\psi (s)$. Cores fortes representam valores próximos de zero e matizes representam os valores de argumento.

$\psi ^{(n)}=(d/dx)^{n}\psi (x)=(d/dx)^{n+1}\ln {\Gamma (x)}\,$

A função digama também é chamada de função Psi.

Relação com os números harmônicos

A função digama está relacionada com os números harmônicos $H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+\ldots {\frac {1}{n}}\,$ por:

$\Psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!$

em que γ é a constante de Euler-Mascheroni. Para valores semi-inteiros, os valores da função digama são:

$\Psi \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}$

Bibliografia

• Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Psi (Digamma) Function." §6.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 258–259, 1972. Ver seção §6.4

Ligações externas

• Weisstein, Eric W., "Digamma function" em MathWorld. (em inglês)