Funções elípticas de Weierstrass

Em matemática, funções elípticas de Weierstrass são funções elípticas que tomam uma forma particularmente simples (cf funções elípticas de Jacobi); elas são nomeadas em referência a Karl Weierstrass. Esta classe de funções são também tratadas como funções P e geralmente escritas usando o símbolo $\wp$ (uma letra p estilizada chamada p Weierstrass).

Símbolo para a função P de Weierstrass.

Definições

A função P de Weierstrass definida sobre uma porção do plano complexo utilizando uma técnica usual de visualização na qual o branco corresponde a um polo, preto a um zero, e a máxima saturação a $\left|f(z)\right|=\left|f(x+iy)\right|=1\;.$ Notar um retículo regular dos polos, e dois retículos que se entrecruzam de zeros.

Pode-se definir à função elíptica de Weierstrass de três maneiras muito similares, cada uma delas possui certas vantagens. Uma é como uma função de variável complexa $z$ e uma retículo $\Lambda$ no plano complexo. Outra é em termos de $z$ e dois números complexos $\omega _{1}$ e $\omega _{2}$ que definem um par de geradores, ou períodos, do retículo. A terceira é em termo de $z$ e de um módulo $\tau$ no semiplano superior. Esta se relaciona com a definição prévia mediante a seguinte expressão $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$, a qual em virtude da convenção usual de pares de períodos se encontra no semiplano superior. Utilizando este método, para um $z$ fixo as funções de Weierstrass resultam ser funções modulares de $\tau$.

Considerando os dois períodos a função elíptica de Weierstrass é uma função elíptica com períodos $\omega _{1}$ e $\omega _{2}$ definida como

$\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{m^{2}+n^{2}\neq 0}\left\{{\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}.$

Então $\Lambda =m\omega _{1}+n\omega _{2}$ são os pontos do par de retículos, pelo que

$\wp (z;\Lambda )=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$

para todo par de geradores do retículo define a função de Weierstrass como uma função de uma variável complexa e um retículo.

Se $\tau$ é um número complexo no semiplano superior, então

$\wp (z;\tau )=\wp (z;1,\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}{1 \over (z-n-m\tau )^{2}}-{1 \over (n+m\tau )^{2}}.$

A soma indicada anteriormente é homogênea com um grau menos dois, com o qual se pode definir a função $\wp$ de Weierstrass para todo par de períodos, como

$\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\wp (z/\omega _{1};\omega _{2}/\omega _{1})/\omega _{1}^{2}.$

Pode-se calcular $\wp$ de forma direta e rápida em termo das funções teta; porque as mesmas convergem rapidamente, esta é uma forma mais veloz de computar-se $\wp$ que as séries que nós usamos para definí-las. A fórmula é

$\wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}+e_{2}(\tau )$

onde

$e_{2}(\tau )=-{\pi ^{2} \over {3}}(\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )).$

Existe um polo de segunda ordem em cada ponto do retículo do período (incluindo a origem). Com estas definições, $\wp (z)$ é uma função par e sua derivada em relação a $z$, $\wp '$, é uma função ímpar. Posteriores desenvolvimentos da teoria das funções elípticas mostram que a condição sobre a função de Weierstrass (corretamente chamada pe) é determinada pela adição de uma constante e multiplicação por uma constante não nula sobre os polos isolados, entre todos as funções meromorfas com o retículo do período dado.

Invariantes

A parte real do invariante g₃ como uma função do nome q sobre o disco unidade.

A parte imaginária do invariante g₃ como uma função do nome q sobre o disco unidade.

Se pontos próximos à origem são considerados a série de Laurent apropriada é

$\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=z^{-2}+{\frac {1}{20}}g_{2}z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}z^{4}+O(z^{6})$

onde

$g_{2}=60\sum {}'\Omega _{m,n}^{-4},\qquad g_{3}=140\sum {}'\Omega _{m,n}^{-6}.$

(aqui $\Omega _{m,n}=m\omega _{1}+n\omega _{2}$ e uma soma tracejada referem-se ao somatório sobre todos os pares de inteiros exceto $m=n=0$). Os números $g_{2}$ e $g_{3}$ são conhecidos como os invariantes — são dois termos externos da série de Eisenstein. (Abramowitz e Stegun limitam-se ao caso de $g_{2}$ real e $g_{3}$, estabelecendo neste caso "parecer abranger a maioria das aplicações"; isto pode ser verdadeiro do ponto de vista de matemática aplicada. Se $\omega _{1}$ é real e $\omega _{2}$ puramente imaginário, ou se $\omega _{1}={\overline {\omega _{2}}}$, os invariantes são reais).

Note-se que $g_{2}$ e $g_{3}$ são funções homogêneas de grau -4 e -6; isto é,

$g_{2}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-4}g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})$

e

$g_{3}(\lambda \omega _{1},\lambda \omega _{2})=\lambda ^{-6}g_{3}(\omega _{1},\omega _{2}).$

Então, por convenção, frequentemente escreve-se $g_{2}$ e $g_{3}$ em termos de razão de meio período $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$ e toma-se $\tau$ situando-se no meio plano superior. Então, $g_{2}(\tau )=g_{2}(1,\omega _{2}/\omega _{1})$ e $g_{3}(\tau )=g_{3}(1,\omega _{2}/\omega _{1})$.

A série de Fourier para $g_{2}$ e $g_{3}$ pode ser escrita em termos do quadrado da nome $q=\exp(i\pi \tau )$ como

$g_{2}(\tau )={\frac {4\pi ^{4}}{3}}\left[1+240\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{3}(k)q^{2k}\right]$

e

$g_{3}(\tau )={\frac {8\pi ^{6}}{27}}\left[1-504\sum _{k=1}^{\infty }\sigma _{5}(k)q^{2k}\right]$

onde $\sigma _{a}(k)$ é a função divisor. Esta fórmula pode ser reescrita em termos de série de Lambert.

Os invariantes podem ser expressos em termos de funções teta de Jacobi. Este método é muito conveniente para cálculo numérico: as funções teta convergem muito rapidamente. Na notação de Abramowitz e Stegun, mas notando os semiperíodos primitivos por $\omega _{1},\omega _{2}$, os invariantes satisfazem

$g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\pi ^{4}}{12\omega _{1}^{4}}}\left(\theta _{2}(0,q)^{8}-\theta _{3}(0,q)^{4}\theta _{2}(0,q)^{4}+\theta _{3}(0,q)^{8}\right)$

e

$g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})={\frac {\pi ^{6}}{(2\omega _{1})^{6}}}\left[{\frac {8}{27}}\left(\theta _{2}(0,q)^{12}+\theta _{3}(0,q)^{12}\right)\right.$

$\left.-{\frac {4}{9}}\left(\theta _{2}(0,q)^{4}+\theta _{3}(0,q)^{4}\right)\cdot \theta _{2}(0,q)^{4}\theta _{3}(0,q)^{4}\right]$

onde $\tau =\omega _{2}/\omega _{1}$ é o razão de meio período e $q=e^{\pi i\tau }$ é o nome.

Casos especiais

Se os invariantes são $g_{2}=0$, $g_{3}=1$, então isto é conhecido como o caso equianarmônico; $g_{2}=1$, $g_{3}=0$ é o caso lemniscática.

Equação diferencial

Com esta notação, a função $\wp$ satisfaz a seguinte equação diferencial:

$[\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3},$

onde a dependência em $\omega _{1}$ e $\omega _{2}$ é suprimida.

Equação integral

A função elíptica de Weierstrass pode ser dada como a inversa de uma integral elíptica.

Fazendo-se

$u=\int _{y}^{\infty }{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}.$

Aqui, g₂ e g₃ são tomados como constantes. Então tem-se

$y=\wp (u).$

O acima segue-se diretamente por integração da equação diferencial.

Discriminante modular

A parte real do discriminante como uma função do nome q no disco unidade.

O discriminante modular $\Delta$ é definido como

$\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.$

Isto é estudado na forma adequada, como uma forma parabólica, na teoria da forma modular (isto é, como uma função do retículo do período).

Note-se que $\Delta =(2\pi )^{12}\eta ^{24}$ onde $\eta$ é a função eta de Dedekind.

A presença do 24 pode ser entendida pela conexão com outras ocorrências, como na função eta e no retículo Leech.

O discriminante é uma forma modular de peso 12. Isto é, sob a ação de grupo modular, transforma-se como

$\Delta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\left(c\tau +d\right)^{12}\Delta (\tau )$

com τ sendo a razão de meio período, e a,b,c e d sendo inteiros, com ad − bc = 1.

As constantes e₁, e₂ e e₃

Considerando-se a equação polinomial cúbica $4t^{3}-g_{2}t-g_{3}=0$ com raízes $e_{1}$, $e_{2}$, e $e_{3}$. Se o discriminante $\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}$ não é zero, nem duas destas raízes são igauis. Já que o termo quadrático desta polinomial cúbica é zero, as raízes são relacionadas pela equação

$e_{1}+e_{2}+e_{3}=0.$

Os coeficientes lineare e constante (g₂ and g₃, respectivamente) são relacionados às raízes pelas equações

$g_{2}=-4\left(e_{1}e_{2}+e_{1}e_{3}+e_{2}e_{3}\right)=2\left(e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2}\right)$

$g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}.$

No caso de invariantes reais, o sinal de $\Delta$ determina a natureza das raízes. Se $\Delta >0$, todas as três são reais e é convencional nomeá-las então $e_{1}>e_{2}>e_{3}$. Se $\Delta <0$, é convencional escrever-se $e_{1}=-\alpha +\beta i$ (onde $\alpha \geq 0$, $\beta >0$), onde $e_{3}={\overline {e_{1}}}$ e $e_{2}$ é real e não negativa.

Os meio períodos ω₁ e ω₂ da função elíptica de Weierstrass são relacionados às raízes

$\wp (\omega _{1})=e_{1}\qquad \wp (\omega _{2})=e_{2}\qquad \wp (\omega _{3})=e_{3}$

onde $\omega _{3}=-(\omega _{1}+\omega _{2})$. Desde que a derivada da função elíptica de Weierstrass iguala-se the above polinomial cúbico do valor da função, $\wp '(\omega _{i})=0$ para $i=1,2,3$; se o valor da função iguala-se a raiz do polinômio, a derivada é zero.

Se $g_{2}$ e $g_{3}$ são reais e $\Delta >0$, a $e_{i}$ são todos reais, e $\wp ()$ é real sobre o perímetro do retângulo com vértices $0$, $\omega _{3}$, $\omega _{1}+\omega _{3}$, e $\omega _{1}$. Se as raízes são ordenadas como above ($e_{1}>e_{2}>e_{3}$), então o primeiro meio período é completamente real

$\omega _{1}=\int _{e_{1}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}$

considerando-se que o terceiro meio período é completamente imaginário

$\omega _{3}=i\int _{-e_{3}}^{\infty }{\frac {dz}{\sqrt {4z^{3}-g_{2}z-g_{3}}}}.$

Teoremas de adição

As funções elípticas de Weierstrass tem diversas propriedades que podem ser provadas:

$\det {\begin{bmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{bmatrix}}=0$

(uma versão simétrica seria

$\det {\begin{bmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{bmatrix}}=0$

Onde $u+v+w=0$).

Além disso

$\wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y).$

e a fórmula da duplicação

$\wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z),$

exceto $2z$ que é um período.

O caso com 1 um meio período básico

Se $\omega _{1}=1$, muito da teoria acima torna-se mais simples; é então convencional escrever-se $\tau$ para $\omega _{2}$. Para um τ fixo no meio plano superior, então a parte imaginária de τ é positiva, nós definimos a função Weierstrass $\wp$ por

$\wp (z;\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}{1 \over (z-n-m\tau )^{2}}-{1 \over (n+m\tau )^{2}}.$

A soma estende-se sobre o retículo {n+mτ : n e m in Z} com a origem omitida.

Aqui consideramos τ como fixo e $\wp$ como uma função de $z$; fixando $z$ e deixando τ variar a condução dentro da área das funções elípticas modulares.

Teoria geral

$\wp$ é uma função meromorfa no plano complexo com um duplo polo a cada ponto do retículo. É duplamente periódico com os períodos 1 e τ; isto significa que $\wp$ satisfaz

$\wp (z+1)=\wp (z+\tau )=\wp (z)$

A soma acima é homogênea de grau menos dois, e se $c$ é qualquer número complexo não zero,

$\wp (cz;c\tau )=\wp (z;\tau )/c^{2}$

dos quais nós podemos definir a função Weierstrass $\wp$ para qualquer par de períodos. Nós também podemos tomar a derivada (evidentemente, em relação a z) e obter uma função algebricamente relacionada a $\wp$ por

$\wp '^{2}=\wp ^{3}-g_{2}\wp -g_{3}$

onde $g_{2}$ and $g_{3}$ depende somente de τ, sendo forma modular. A equação

$Y^{2}=X^{3}-g_{2}X-g_{3}$

define uma curva elíptica, e nós vemos que $(\wp ,\wp ')$ é uma parametrização desta curva.

A totalidade das funções meromorfas duplamente periódicas com dados períodos define uma função corpo algébrico, associado a esta curva.

Podemos mostrar que este corpo é

$\mathbb {C} (\wp ,\wp '),$

então todas estas funções são funções racionais na função Weierstrass e sua derivada.

Nós também podemos inserir um paralelograma de período único em um toro, ou superfície de Riemann em forma de "donut" , e tendo as funções elípticas associadas a um dado par de períodos como sendo funções definidas sobre esta superfície de Riemann.

As raízes $e_{1}$, $e_{2}$, e $e_{3}$ da equação $X^{3}-g_{2}X-g_{3}$ dependem de τ e podem ser expressas em termos de funções teta; nós temos

$e_{1}(\tau )={\pi ^{2} \over {3}}(\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{01}^{4}(0;\tau )),$

$e_{2}(\tau )=-{\pi ^{2} \over {3}}(\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )),$

$e_{3}(\tau )={\pi ^{2} \over {3}}(\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )-\vartheta _{01}^{4}(0;\tau )).$

Dado que $g_{2}=-4(e_{1}e_{2}+e_{2}e_{3}+e_{3}e_{1})$ e $g_{3}=4e_{1}e_{2}e_{3}$ nós temos estes também em termos de funções teta.

Podemos também expressar $\wp$ em termos de funções theta; porque estas convergem muito rapidamente, este é um meio mais rápido de cálculo $\wp$ que as séries que usamos para definí-las.

$\wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}+e_{2}(\tau ).$

A função $\wp$ tem dois zeros (módulos de períodos) e a função $\wp '$ tem três. Os zeros de $\wp '$ são fáceis de serem encontrados: dado que $\wp '$ é uma função ímpar devem estar em pontos de meio período. Por outro lado é muito difícil expressar os zeros de $\wp$ por forma fechada, exceto para valores especiais do módulo (e.g. quando o retículo do período é inteiro de Gauss). Uma expressão foi encontrada por Zagier e Eichler.

A teoria de Weierstrass também inclui a função zeta de Weierstrass, a qual é uma integral indefinida de $\wp$ e não duplamente periódica, e uma função teta chamada função sigma de Weierstrass, da qual sua função zeta é a derivada logarítmica. A função sigma tem zeros em todos os pontos do período (somente), e pode ser expressa em termos de funções de Jacobi. Isto dá um meio de conversão entre notações de Weierstrass e Jacobi.

A função sigma de Weierstrass é uma função inteira; desempenha o papel de função 'típica' na teoria de funções inteiras aleatórias de J. E. Littlewood.

Relação com as funções elípticas de Jacobi

Para trabalho numérico, é frequentemente conveniente calcular a função elíptica de Weierstrass em termos das funções elípticas de Jacobi. As relações básicas são

$\wp (z)=e_{3}+{\frac {e_{1}-e_{3}}{\mathrm {sn} ^{2}w}}=e_{2}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\mathrm {dn} ^{2}w}{\mathrm {sn} ^{2}w}}=e_{1}+\left(e_{1}-e_{3}\right){\frac {\mathrm {cn} ^{2}w}{\mathrm {sn} ^{2}w}}$

onde e_1-3 são as três raízes descritas acima e onde o módulo k das funções de Jacobi iguala-se

$k\equiv {\sqrt {\frac {e_{2}-e_{3}}{e_{1}-e_{3}}}}$

e seu argumento w iguala-se

$w\equiv z{\sqrt {e_{1}-e_{3}}}.$

Referências

• Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, traduzido para o inglês como AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
• Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
• K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
• Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis, Cambridge University Press, 1952, capítulos 20 e 21
• Konrad Knopp, Funktionentheorie II (1947), Dover; Republicado em traduçã para o inglês como Theory of Functions (1996), Dover ISBN 0-486-69219-1
• Abramowitz and Stegun; Handbook of Mathematical Functions, capítulo 18

Ligações externas

• «Weierstrass Elliptic Function» (em inglês). - Funções elípticas de Weierstrass no MathWorld - 
• «Funções elípticas, página de análise complexa de Hans Lundmark»