Identidade de Bézout

Em matemática, particularmente em teoria dos números, a identidade de Bézout, também chamada lema de Bézout, teorema de Bézout ou ainda teorema de Bachet-Bézout, consiste da seguinte afirmação sobre inteiros:

Dados inteiros $a$ e $b$ , não ambos nulos, existem inteiros $m$ e $n$ tais que

am

+

bn

=

mdc

(

a

,

b

).

Como consequência imediata da identidade de Bézout, temos que se $c$ é um inteiro que divide $a$ e $b$ , então $c$ também divide $mdc$ ( $a$ , $b$ ). Ora, se $m$ , $n$ são inteiros tais que $am$ + $bn$ = $mdc$ ( $a$ , $b$ ) e $q 1$ , $q 2$ inteiros tais que $a = q 1 c$ e $b = q 2 c$ , então $(q 1 m + q 2 n) c = mdc (a, b)$ , ou seja, $c$ divide $mdc$ ( $a$ , $b$ ). Um outro corolário da identidade de Bézout afirma que a equação diofantina linear $ax$ + $by$ = $c$ tem solução se $mdc$ ( $a$ , $b$ ) divide $c$ . Realmente, tem-se pela identidade de Bézout que existem inteiros $m$ , $n$ tais que $am$ + $bn$ = $mdc$ ( $a$ , $b$ ) e, assim, desde que $c$ = $q mdc$ ( $a$ , $b$ ), $q (am + bn) = a (qm) + b (qn) = q mdc (a, b) = c$ , isto é, ( $qm$ , $qn$ ) é solução da equação diofantina linear.

O matemático francês Étienne Bézout (1730 – 1783), cujo nome do lema está associado, provou o análogo do resultado para polinômios. Foi Claude Gaspard Bachet de Méziriac (1581 – 1638), outro matemático francês, quem provou a identidade para números inteiros.

Demonstração editar

Dados inteiros $a$ , $b$ , com $b \neq 0$ , considere o conjunto $I (a, b) = {ax + by : x, y \in Z}$ . É claro que existe em $I$ ( $a$ , $b$ ) um inteiro positivo. De fato, $| b | \in I (a, b)$ . Seja $d = ax 0 + by 0$ o menor inteiro positivo em $I$ ( $a$ , $b$ ).

Afirmação. $d$ divide todo inteiro $n \in I (a, b)$ .

Dado

n = ax 1 + by 1 \in I (a, b)

, sejam

q, r \in Z

tais que

n

=

qd

+

r

com

0 \leq r < d

. Temos então

n - qd = a (x 1 - qx 0) + b (y 1 - qy 0) = r \in I (a, b)

, de modo que, como

d

é o menor inteiro positivo em

I

(

a

,

b

), obrigatoriamente

r

=

0

.

Agora, como $a, b \in I (a, b)$ (basta escolher ( $x$ , $y$ ) = ( $1$ , $0$ ) e ( $x$ , $y$ ) = ( $0$ , $1$ ), respectivamente), temos que $d$ divide $a$ e $b$ . Logo, $d \leq mdc (a, b)$ .

Por outro lado, $mdc$ ( $a$ , $b$ ) divide $a$ e $b$ , de modo que $mdc$ ( $a$ , $b$ ) divide $d$ . Portanto, $mdc (a, b) \leq d$ e, consequentemente, $mdc$ ( $a$ , $b$ ) = $d$ .

Ver também editar

Referências editar

Bachet, Claude Gaspard (1624). Problèmes plaisants & délectables qui se font par les nombres (em francês) 2 ed. Lyons: Pierre Rigaud & Associates. pp. 18–33
Bézout, E (1779). Théorie générale des équations algébriques (em francês). Paris: Ph.-D. Pierres
Bullynck, Maarten. «Modular Arithmetic before C.F. Gauss. Systematisations and discussions on remainder problems in 18th century Germany» (PDF). Alemanha. Historia Mathematica (em inglês). 36. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009

Ligações externas editar

"Bézout's Identity" in MathWorld (em inglês)
"Bézout's Lemma" in ProofWiki (em inglês)
Online calculator of Bézout's identity (em inglês)