Impedância elétrica

Impedância elétrica ou simplesmente impedância (quando, em domínio de circuitos ou sistemas elétricos, não houver possibilidade de confusão com outras possíveis acepções de impedância), é a oposição que um circuito elétrico faz à passagem de corrente elétrica quando é submetido a uma tensão. Pode ser definida como a relação entre o valor eficaz da diferença de potencial entre dois pontos do circuito em consideração e o valor eficaz da corrente elétrica resultante no circuito.

Introdução editar

De uma maneira mais simples, impedância é a carga resistiva total de um circuito CA (Corrente alternada), ou seja, quando um determinado componente cria uma resistência e gasta energia em forma de calor, tem-se o Efeito Joule, isso chamado de resistência e, se o componente não gasta energia em forma de calor, temos a reatância, então, quando estão presentes a resistência e a reatância, chamamos de impedância.
A impedância não é um fasor, mas é expressa como um número complexo, possuindo uma parte real equivalente à resistência R e uma parte imaginária dada pela reatância X. A impedância é, também, expressa em ohms e designada pelo símbolo Z, que indica a oposição total que um circuito oferece ao fluxo de uma corrente elétrica variável no tempo.

Formulação Matemática editar

As equações dos circuitos com capacitores e indutores são sempre equações diferenciais. No entanto, como essas equações são lineares, as suas transformadas de Laplace serão sempre equações algébricas em função de um parâmetro $s$ com unidades de frequência.^[1]

Será muito mais fácil encontrar a equação do circuito em função do parâmetro $s$ e a seguir podemos calcular a transformada de Laplace inversa se quisermos saber como é a equação diferencial em função do tempo $t$ . A equação do circuito, no domínio da frequência $s$ , é obtida calculando as transformadas de Laplace da tensão em cada um dos elementos do circuito.^[1]

Se admitirmos que o circuito encontra-se inicialmente num estado de equilíbrio estável e que o sinal de entrada só aparece em $t=0$ , temos que:

$\lim _{t\rightarrow 0^{-}}V(t)=\lim _{t\rightarrow 0^{-}}V_{e}(t)=0$

Assim, as transformadas de Laplace de $V_{e}'$ e $V'$ são $s\,{\tilde {V}}_{e}(s)$ e $s\,{\tilde {V}}(s)$ , onde ${\tilde {V}}_{e}$ e ${\tilde {V}}$ são as transformadas dos sinais de entrada e saída.^[1]

Como as derivadas dos sinais também são inicialmente nulas, as transformadas de $V_{e}''$ e $V''$ são $s^{2}\,{\tilde {V}}_{e}(s)$ e $s^{2}\,{\tilde {V}}(s)$ .

Numa resistência a lei de Ohm define a relação entre os sinais da tensão e da corrente:

$V(t)=R\,I(t)$

aplicando a transformada de Laplace nos dois lados da equação obtemos:

${\tilde {V}}=R\,{\tilde {I}}$

Num indutor, a relação entre a tensão e a corrente é:

$V(t)=L\,{\dfrac {dI(t)}{dt}}$

Como estamos a admitir que em $t<0$ a tensão e a corrente são nulas, usando a propriedade da transformada de Laplace da derivada obtemos a equação:

${\tilde {V}}=L\,s\,{\tilde {I}}$

que é semelhante à lei de Ohm para as resistências, excepto que em vez de $R$ temos uma função $Z(s)$ que depende da frequência:

$Z(s)=L\,s$

Num capacitor, a diferença de potencial é diretamente proporcional à carga acumulada:

$V(t)={\frac {Q(t)}{C}}$

Como estamos a admitir que em $t<0$ não existem cargas nem correntes, então a carga acumulada no instante $t$ será igual ao integral da corrente, desde $t=0$ até o instante t:

$V(t)={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(u)du$

e usando a propriedade da transformada de Laplace do integral, obtemos:

${\tilde {V}}={\frac {\tilde {I}}{s\,C}}$

Mais uma vez, obtivemos uma relação semelhante à lei de Ohm, mas em vez do valor da resistência $R$ temos uma função que depende da frequência:

$Z(s)={\frac {1}{s\,C}}$

Resumindo, no domínio da frequência, as resistências, indutores e condensadores verificam todos uma lei de Ohm generalizada:

${\tilde {V}}(s)=Z(s)\,{\tilde {I}}(s)$

Onde a função $Z(s)$ denomina-se impedância generalizada e é dada pela seguinte expressão:

$Z=\left\{{\begin{array}{ll}R&{\text{, nos resistores}}\\L\,s&{\text{, nos indutores}}\\{\dfrac {1}{C\,s}}&{\text{, nos capacitores}}\end{array}}\right.$

É de salientar que os indutores produzem uma maior impedância para sinais com frequências $s$ maiores, os capacitores apresentam maior impedância quando o sinal tiver menor frequência e nas resistências a impedância é constante, independentemente da frequência.

Associações de impedâncias editar

Associação de impedâncias em série e sistema equivalente

Duas resistências em série são equivalentes a uma única resistência com valor igual à soma das resistências. Nessa demonstração, o fato de que além da corrente nas duas resistências em série dever ser igual, a diferença de potencial total é igual à soma das diferenças de potencial em cada resistência e em cada resistência verifica-se a lei de Ohm.^[1]

Os mesmos 3 fatos são válidos no caso de dois dispositivos em série (resistências, indutores ou condensadores) onde se verifique a lei de Ohm generalizada.

Assim, podemos generalizar as mesmas regras de combinação de resistências em série ao caso de condensadores e indutores, como ilustra a figura ao lado. Nomeadamente, quando dois dispositivos são ligados em série, o sistema pode ser substituído por um único dispositivo com impedância igual à soma das impedâncias dos dois dispositivos:^[1]

Z{\text{série}}=Z_{1}+Z_{2}

Associação de impedâncias em paralelo e sistema equivalente

Se os dois dispositivos estiverem ligados em paralelo, como no caso da figura ao lado, em qualquer instante a diferença de potencial será a mesma nos dois dispositivos e a corrente total no sistema será a soma das correntes nos dois dispositivos. Isso, junto com a lei de Ohm generalizada , permite-nos concluir que o sistema pode ser substituído por um único dispositivo com impedância:

Z{\text{paralelo}}=Z_{1}\parallel Z_{2}={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}

Referências

↑ ^a ^b ^c ^d ^e [ Eletricidade e Magnetismo. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 221 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 978-972-99396-2-4. Acesso em 09 julho. 2013.

EDMINISTER, J. A.. Circuitos Elétricos. Teoria e Problemas Resolvidos. São Paulo (SP, Brasil): McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1974.

HAYT & KEMMERLY. Análise de Circuitos em Engenharia. São Paulo (SP, Brasil): McGraw-Hill do Brasil Ltda., 1990.

[Villate-1] [ Eletricidade e Magnetismo. Porto: Jaime E. Villate, 20 de março de 2013. 221 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0) ISBN 978-972-99396-2-4. Acesso em 09 julho. 2013.

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