Integração por substituição trigonométrica

A substituição trigonométrica é uma técnica de integração muito utilizada quando ocorre integrando algébricos. Ela se baseia no fato que identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de um função algébrica por uma função trigonométrica, que pode ser mais facilmente integrada.

Substituição trigonométrica

Antes de alguns exemplos, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições consiste no uso da fórmula fundamental da trigonometria $sen^{2}\theta \ +cos^{2}\theta \ =1$

É fácil de perceber, que as funções $sen^{2}\theta$ e $cos^{2}\theta$ podem ser obtidas, passando um delas para o outro lado e subtraindo de 1. Obtendo as seguintes fórmulas:

$$cos^{2}\theta \ =1-sen^{2}\theta$$

$$sen^{2}\theta \ =1-cos^{2}\theta$$

Fórmulas de outras funções trigonométricas como tangente e secante, podem ser obtidas dividindo ambos os lados da equação fundamental da trigonometria por um fator conveniente. Por exemplo, para se obter uma relação envolvendo a tangente e a secante divide-se ambos os lados da equação por $cos^{2}\theta$

$$sen^{2}\theta \ +cos^{2}\theta \ =1$$

$${\frac {sen^{2}\theta }{cos^{2}\theta }}+{\frac {cos^{2}\theta }{cos^{2}\theta }}={\frac {1}{cos^{2}\theta }}$$

Resultando em:

$$tan^{2}\theta \ =sec^{2}\theta \ -1$$

Essas substituições podem ser sumarizadas da seguinte forma:

$$1-sen^{2}\theta \ =cos^{2}\theta$$

para ${\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$, sendo a uma constante positiva.

$$1+\tan ^{2}\theta \;=\;\sec ^{2}\theta$$

para ${\sqrt {a^{2}+x^{2}}}$, com a > 0

$$\sec ^{2}\theta -1\;=\;\tan ^{2}\theta$$

para ${\sqrt {x^{2}-a^{2}}}$, sendo a maior do que zero, constante.

Substituição inversa

Deve se ter em mente que a substituição trigonométrica não é inteiramente igual a substituição clássica onde uma variável é colocada em função de x (a incógnita original da equação), mas sim o contrario será feito.

$$u=\phi \ (x)$$

$$x=\phi \ ^{-1}(u)$$

, $dx=[\phi \ ^{-1}]'(u)du$

$$\int f(x)dx=\int f(u)[\phi \ ^{-1}]'(u)du$$

Exemplo

Considere a integral $\int {\sqrt {16-x^{2}}}dx$ usando a substituição $x=4sen\theta$, obtêm-se $dx=4cos\theta \ d\theta$

$$\int {\sqrt {16(1-sen^{2}\theta )}}4\ cos\theta \ d\theta$$

$$16\int \ cos^{2}\theta \ d\theta$$

A integral de cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes

$$u=cos\theta ,dv=cos\theta \ d\theta$$

$$\int cos^{2}\theta \ d\theta =cos\theta \ sen\theta +\int sen^{2}\theta \ d\theta$$

$$\int cos^{2}\theta \ d\theta =cos\theta \ sen\theta +\int 1\ d\theta -\int cos^{2}\theta \ d\theta$$

$$\int cos^{2}\theta \ d\theta ={\frac {cos\theta \ sen\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}$$

Voltando a equação original

$$16\int cos^{2}\theta \ d\theta =16\left({\frac {cos\theta \ sen\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}\right)$$

Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito transpondo o ângulo $\theta$ para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a $\theta$ igual a $x$, consequentemente o cateto adjacente ao ângulo $\theta$ valerá ${\sqrt {16-x^{2}}}$. Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:

$$cos\theta ={\frac {\sqrt {16-x^{2}}}{4}}$$

$$sen\theta ={\frac {x}{4}}$$

O ângulo $\theta$ pode ser expresso como$arcsen{\frac {x}{4}}$ Obtendo assim como resposta final:

${\frac {x{\sqrt {16-x^{2}}}}{2}}+8{arcsen{\frac {x}{4}}}+C$