Inverso multiplicativo

Em matemática, o inverso multiplicativo de um número x é o número y que, multiplicado por x, gera a identidade multiplicativa. Note-se que estamos falando de qualquer operação binária que tenha o nome de multiplicação, que não precisa ser comutativa, mas deve ter elemento neutro.

A função real de variável real f(x)=1/x asoccia cada x não-nulo com seu inverso multiplicativo.

No caso de uma operação não comutativa, o inverso deve ser tal que $x\times y=y\times x=1$.

Quando este inverso é único (por exemplo, o inverso multiplicativo de um número real), ele é representado por:

$1\div y={\frac {1}{y}}=y^{(-1)}={\sqrt[{(-1)}]{y}}$

ou

$m^{w}={\sqrt[{\frac {1}{w}}]{m}}$

ou

$a^{\frac {1}{c}}={\sqrt[{c}]{a}}$

O termo "recíproco" era de uso comum pelo menos até a terceira edição de "Encyclopædia Britannica" (1797) para descrever dois números cujo produto é 1; As quantidades geométricas em proporção inversa são descritas como reciprocall em uma tradução 1570 de Euclid Elements .

Unicidade

As condições necessárias para que se possa definir o inverso multiplicativo são um conjunto S, uma operação binária * definida como uma função $\star :S\times S\to S$ e a existência de um elemento neutro 1 desta operação, definido de forma que $\forall x\in S,1\times x=x\times 1=x$.

Estas são as definições de um grupóide com elemento neutro.

Por exemplo, para a operação binária × definida no conjunto {1, a, b, c} de forma que 1 seja o elemento neutro, a × a = 1, a × b = 1, a × c = a, b × a = 1, b × b = b, b × c = b, c × a = c, c × b = 1 e c × c = c, temos que a é um elemento inverso de a, b também é um elemento inverso de a e a é um elemento inverso de b, e não existe elemento inverso de c. Note-se que no caso geral, o elemento inverso não precisa existir nem ser único (devia se chamar de um elemento inverso, em vez de o elemento inverso).

Quando a operação é associativa (ou seja, (S, *) é um monóide), pode-se mostrar que o inverso, se existe, é único:

Seja x um elemento de S, e y e z elementos inversos de x. Então, pela associatividade:

$(z\times x)\times y=z\times (x\times y)$

Portanto, pelas definições de elemento inverso e de elemento neutro:

$1\times y=z\times 1$

$y=z$

Inverso multiplicativo de alguns números

número	valor inverso
0	${\infty }$
1	$1$
2	$0,5$
3	$0,{\overline {3}}$
4	$0,25$
5	$0,2$
6	$0,1{\overline {6}}$
7	$0,{\overline {142857}}$
8	$0,125$
9	$0,{\overline {1}}$
10	$0,1$
11	$0,{\overline {09}}$
12	$0,08{\overline {3}}$
13	$0,{\overline {076923}}$
14	$0,0{\overline {714285}}$
15	$0,0{\overline {6}}$
16	$0,0625$
17	$0,{\overline {0588235294117647}}$
18	$0,0{\overline {5}}$
19	$0,{\overline {052631578947368421}}$
20	$0,05$

Em forma de divisão

O resultado de $A\div B$ é o inverso do resultado de $B\div A$. Ou seja, para descobrir o valor inverso de um número que é resultado de uma divisão, é só trocar o dividendo e o divisor de lugar. Exemplos:

• Se $16\div 4=4$, para descobrir o valor inverso de 4, é só trocar o dividendo e o divisor de lugar, que vai ser $4\div 16=0,25$. Portanto, 0,25 é o valor inverso de 4.
• Se $15\div 3=5$, para descobrir o valor inverso de 5, é só trocar o dividendo e o divisor de lugar, que vai ser $3\div 15=0,2$. Portanto, 0,2 é o valor inverso de 5.
• Se $72\div 9=8$, para descobrir o valor inverso de 8, é só trocar o dividendo e o divisor de lugar, que vai ser $9\div 72=0,125$. Portanto, 0,125 é o valor inverso de 8.
• Se $100\div 10=10$, para descobrir o valor inverso de 10, é só trocar o dividendo e o divisor de lugar, que vai ser $10\div 100=0,1$. Portanto, 0,1 é o valor inverso de 10.

Em forma de potenciação

O resultado de $A^{B}$ é o inverso do resultado de $A^{(-B)}$. Ou seja, para descobrir o valor inverso de um número que é resultado de uma potenciação, é só conservar a base e trocar o expoente de positivo para negativo, ou de negativo para positivo. Exemplos:

• Se $2^{2}=4$, para descobrir o valor inverso de 4, é só trocar o expoente positivo para negativo, que vai ser $2^{(-2)}=0,25$. Portanto, 0,25 é o valor inverso de 4.
• Se $3^{3}=27$, para descobrir o valor inverso de 27, é só trocar o expoente positivo para negativo, que vai ser $3^{(-3)}=0,{\overline {037}}$. Portanto, a dízima periódica $0,{\overline {037}}$ é o valor inverso de 27.
• Se $5^{5}=3125$, para descobrir o valor inverso de 3125, é só trocar o expoente positivo para negativo, que vai ser $5^{(-5)}=0,00032$. Portanto, 0,00032 é o valor inverso de 3125.
• Se $10^{6}=1000000$, para descobrir o valor inverso de 1000000, é só trocar o expoente positivo para negativo, que vai ser $10^{(-6)}=0,000001$. Portanto, 0,000001 é o valor inverso de 1000000.

Em forma de radiciação

O resultado de ${\sqrt[{Q}]{W}}$ é o inverso do resultado de ${\sqrt[{(-Q)}]{W}}$. Ou seja, para descobrir o valor inverso de um número que é resultado de uma potenciação, é só conservar o radicando e trocar o índice de positivo para negativo, ou de negativo para positivo. Exemplos:

• Se ${\sqrt[{12}]{8916100448256}}=12$, para descobrir o valor inverso de 12, é só índice o expoente positivo para negativo, que vai ser ${\sqrt[{(-12)}]{8916100448256}}=0,08{\overline {3}}$. Portanto, a dízima periódica $0,08{\overline {3}}$ é o valor inverso de 12.
• Se ${\sqrt[{8}]{16777216}}=8$, para descobrir o valor inverso de 8, é só trocar o índice positivo para negativo, que vai ser ${\sqrt[{(-8)}]{16777216}}=0,125$. Portanto, 0,125 é o valor inverso de 8.
• Se ${\sqrt[{7}]{823543}}=7$, para descobrir o valor inverso de 7, é só trocar o índice positivo para negativo, que vai ser ${\sqrt[{(-7)}]{823543}}=0,{\overline {142857}}$. Portanto, a dízima periódica $0,{\overline {142857}}$ é o valor inverso de 7.
• Se ${\sqrt[{5}]{3125}}=5$, para descobrir o valor inverso de 5, é só trocar o índice positivo para negativo, que vai ser ${\sqrt[{(-5)}]{3125}}=0,2$. Portanto, 0,2 é o valor inverso de 5.