Número p-ádico

Em matemática, o sistema dos números p-ádicos foi pela primeira vez descrito por Kurt Hensel em 1897.

Dado um número primo p, um número p-ádico é representado como uma soma infinita:

$a=a_{-r}{\frac {1}{p^{r}}}+a_{-r+1}{\frac {1}{p^{r-1}}}+\ldots +a_{-1}{\frac {1}{p}}+a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\ldots \,$

O principal uso destes números é na teoria de números.

Construção intuitiva

Assim como $\mathbb {R} \,$ pode ser gerado a partir de $\mathbb {Q} \,$ a partir da definição usual de valor absoluto, ou seja, $\mathbb {R} \,$ é $\mathbb {Q} \,$ acrescido do valor limite das sucessões de Cauchy, o conjunto dos números p-ádicos também é $\mathbb {Q} \,$ ao qual são agregados os valores limites das sucessões de Cauchy, só que, em vez de usar o valor absoluto usual, usa-se um valor absoluto diferente.

Este valor absoluto diferente, o valor absoluto p-ádico, representado por |.|_p, é tal que multiplicar um número por p, que no valor absoluto usual faz o resultado ser multiplicada por p, faz, neste caso, ser dividido por p. Por exemplo:

$\|p^{n}\|_{p}=\left({\frac {1}{p}}\right)^{n}\,$

Como consequência, a sucessão das potências de p, x_n = pⁿ, que, no valor absoluto usual é uma sucessão divergente (seu limite é infinito), no valor absoluto p-ádico é uma sucessão convergente, e seu limite é zero.

Define-se $\mathbb {Q} _{p}\,$ como sendo a completação de $\mathbb {Q} \,$ usando-se o valor absoluto p-ádico. É simples verificar que $\mathbb {Q} _{p}\,$ também é um corpo.

Um resultado do valor absoluto p-ádico é que o critério para convergência de uma série é mais simples que o critério para o valor absoluto usual: para uma série infinita $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,$ ser convergente, é necessário e suficiente que a_n seja uma sequência que converge para zero.

Ou seja, para índices a_n números naturais entre 0 e p-1, uma expressão do tipo:

$a_{-k}p^{-k}+\ldots +a_{-1}p^{-1}+a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\ldots \,$

converge para algum número p-ádico. O resultado mais importante, porém, é que é possível demonstrar que todo número p-ádico pode ser escrito de forma única como uma série desta forma, ou seja, uma série de potências em p que está limitada para as potências negativas de p, mas não precisa estar limitada para as potências positivas.

Valor absoluto p-ádico

Ver artigo principal: Valor absoluto p-ádico

Para um número p-ádico a ≠ 0 expresso como:

$a=a_{-r}{\frac {1}{p^{r}}}+a_{-r+1}{\frac {1}{p^{r-1}}}+\ldots +a_{-1}{\frac {1}{p}}+a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\ldots \,$

com a_-r ≠ 0, o valor absoluto p-ádico vale:

$\|a\|_{p}=p^{r}\,$

Por exemplo, |p|_p = 1/p e |p²|_p = 1/p².

Toda sequência de Cauchy em $\mathbb {Q} _{p}\,$ converge.

Notas e referências

Ver também

• Inteiro p-ádico

Ligações externas

• «p-adicNumber» 
• «inteiros p--adicos». em planetmath 
• «p-adic number». at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics 
• «Completion of Algebraic Closure» (PDF). - on-line lecture notes 

Bibliografia

• Gouvêa, Fernando Q. (2000). p-adic Numbers : An Introduction 2nd edition ed. [S.l.]: Springer. ISBN 3-540-62911-4 
• Robert, Alain M. (2000). A Course in p-adic Analysis. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98669-3 
• Steen, Lynn Arthur (1978). Counterexamples in Topology. [S.l.]: Dover. ISBN 0-486-68735-X 
• Jones, Gareth A., Jones, Josephine Mary. Elementary Number Theory. Springer, 1998. 301 p. ISBN 3540761977
• Heinz-Dieter Ebbinghaus, John H. Ewing. Numbers. 1990. Springer. ISBN 0387974970
• Jean Pierre Serre. A Course in Arithmetic. 1973. Springer. ISBN 0387900403