Operação elementar (matrizes)

Em matemática, uma matriz elementar é uma matriz que difere da matriz identidade por uma única operação elementar de linha. As matrizes elementares geram o grupo linear geral de matrizes invertíveis. A multiplicação à esquerda (pré-multiplicação) por uma matriz elementar representa operações elementares de linha, enquanto a multiplicação à direita (pós-multiplicação) representa operações elementares de coluna.

Operações elementares de linha são usadas na eliminação gaussiana para reduzir a matriz a forma escalonada. Elas também são usadas na eliminação de Gauss-Jordan para reduzir ainda mais a matriz à forma reduzida escalonada.

Operações elementares de linha

Existem três tipos de matrizes elementares, que correspondem a três tipos de operações de linha (respectivamente, operações de coluna):

Troca de linha

Uma linha dentro da matriz pode ser alternada com outra linha.

$L_{i}\leftrightarrow L_{j}$

Multiplicação de linha

Cada elemento em uma linha pode ser multiplicado por uma constante diferente de zero.

$kL_{i}\rightarrow L_{i},\ {\mbox{onde }}k\neq 0$

Adição de linha

Uma linha pode ser substituída pela soma dessa linha e um múltiplo de outra linha.

$L_{i}+kL_{j}\rightarrow L_{i},{\mbox{onde }}i\neq j$

Se $E$ é uma matriz elementar, como descrito abaixo, para aplicar a operação de linha elementar a uma matriz $A$, multiplica-se $A$ pela matriz elementar à esquerda, $E\!A$. A matriz elementar para qualquer operação de linha é obtida executando a operação na matriz identidade.

Transformações de comutação de linha

O primeiro tipo de operação de linha em uma matriz $A$ alterna todos os elementos da matriz na linha $i$ com seus equivalentes na linha $j$. A matriz elementar correspondente é obtida trocando a linha $i$ e a linha $j$ da matriz identidade.

$T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}$

Então $T_{ij}A$ é a matriz produzida pela troca da linha $i$ e $j$ de $A$.

Propriedades

• A inversa dessa matriz é ela mesma: $T_{ij}^{-1}=T_{ij}.$
• Como o determinante da matriz de identidade é a unidade, $det[T_{ij}]=-1$. Segue-se que, para qualquer matriz quadrada $A$ (do tamanho correto), temos $det[T_{ij}A]=-det[A]$

Transformações de multiplicação de linhas

O próximo tipo de operação de linha em uma matriz $A$ multiplica todos os elementos da linha $i$ por $m$, em que $m$ é um escalar diferente de zero (geralmente um número real). A matriz elementar correspondente é uma matriz diagonal, com entradas diagonais 1 em todos os lugares, exceto na $i$-ésima posição, onde é $m$.

$D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}$

Então $D_{i}\!(m)\!A$ é a matriz produzida a partir da multiplicação da linha $i$ por $m$.

Propriedades

• A inversa dessa matriz é: $D_{i}(m)^{-1}=D_{i}({\frac {1}{m}})$
• A matriz e sua inversa são matrizes diagonais.
• $det[D_{i}(m)]=m$. Portanto, para uma matriz quadrada $A$ (do tamanho correto), temos $det[D_{i}(m)A]=m\ det[A]$.

Transformações de adição de linha

O tipo final de operação de linha em uma matriz $A$ adiciona a linha $i$ multiplicada por um escalar $m$ à linha $j$. A matriz elementar correspondente é a matriz identidade, mas com um $m$ na posição $(j,i)$.

$U_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}$

Então $U_{ij}(m)A$ é a matriz produzida a partir de $A$ adicionando $m$ vezes a linha $i$ à linha $j$. E $AU_{ij}(m)$ é a matriz produzida a partir de $A$ adicionando $m$ vezes a coluna $j$ à coluna $i$.

Propriedades

• Essas transformações são uma espécie de transformação de cisalhamento.
• $U_{ij}(m)^{-1}=U_{ij}(-m)$ (matriz inversa).
• A matriz e sua inversa são matrizes triangulares.
• $det[L_{ij}(m)]=1$. Portanto, para uma matriz quadrada $A$ (do tamanho correto) temos $det[L_{ij}(m)A]=det[A]$.
• As transformações de adição de linha satisfazem as relações de Steinberg.

Referências

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right, ISBN 0-387-98259-0 2nd ed. , Springer-Verlag 
• Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Linear Algebra and Its Applications, ISBN 978-0-321-28713-7 3rd ed. , Addison Wesley 
• Meyer, Carl D. (15 de fevereiro de 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, ISBN 978-0-89871-454-8, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), arquivado do original em 31 de outubro de 2009 
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction, ISBN 0-534-99845-3 2nd ed. , Brooks/Cole 
• Anton, Howard (2005), Elementary Linear Algebra (Applications Version) 9th ed. , Wiley International 
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications 7th ed. , Pearson Prentice Hall