Partição de um intervalo

Em matemática, uma partição de um intervalo $[a,b]$, geralmente denotada $P$ ou $\Pi$, na reta real é uma sequência finita $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k}$ de números reais tal que:

Uma partição de um intervalo sendo usada em uma soma de Riemann. A partição propriamente dita é mostrada em cinza embaixo, com um subintervalo indicado em vermelho.

$a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{k}=b.$

Em outras palavras, uma partição de um intervalo compacto $I$ é uma sequência estritamente crescente de números (que pertence ela própria ao intervalo $I$) que começa no ponto inicial de $I$ e termina no ponto final de $I$.

Todo intervalo da forma $[x_{i},x_{i+1}]$ é referido como um subintervalo de partição $x$.

Estas partições são utilizadas na teoria da integral de Riemann e da integral de Riemann–Stieltjes.

Refinamento da partição

Outra partição do intervalo dado, $Q$, é definida como um refinamento da partição, $P$, quando contém todos os pontos de $P$ e possivelmente alguns outros pontos também. A partição de $Q$ é considerada "mais fina" que $P$. Dadas duas partições, $P$ e $Q$, pode-se sempre formar seu refinamento comum, denotado $P\lor Q$, que consiste em todos os pontos de $P$ e $Q$, renumerados em ordem.

Exemplos

Um exemplo de partição é o seguinte:

Dado o intervalo $[1,2]$, uma partição de tal intervalo seria:

$\Pi =\{1,{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},2\}.$

Outra possível partição para o mesmo intervalo seria:

$\Pi '=\{1,{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},2\}$, com $\Pi '$ mais "fina" que $\Pi$.

Norma de uma partição

A norma de uma partição

$x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$

é o comprimento do mais longo deste subintervalos

$\max\{(x_{i}-x_{i-1}):i=1,\ldots ,n\}.$

Aplicações

Partições são usadas na teoria da integral de Riemann, da integral de Riemann–Stieltjes e da integral regulada. Especificamente, conforme partições mais finas de um intervalo são consideradas, sua norma se aproxima de zero e a soma de Riemann baseada em uma dada partição se aproxima da integral de Riemann.

Partições marcadas

Uma partição marcada é uma partição de um dado intervalo junto com uma sequência finita de números $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ sujeita às condições que, para cada $i$,

$x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}.$

Em outras palavras, uma partição marcada é uma partição junto com um ponto distinguido de cada subintervalo. Sua norma é definida da mesma forma que uma partição comum. É possível definir uma ordem parcial no conjunto de todas as partições marcadas ao dizer que uma partição marcada é maior que a outra se a maior for um refinamento da menor.

Suponha que $x_{0},\ldots ,x_{n}$ junto com $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ é uma partição marcada de $[a,b]$ e que $y_{0},\ldots ,y_{m}$ junto com $s_{0},\ldots ,s_{m-1}$ é outra partição marcada de $[a,b]$. Dizemos que $y_{0},\ldots ,y_{m}$ e $s_{0},\ldots ,s_{m-1}$ juntos são um refinamento da partição marcada $x_{0},\ldots ,x_{n}$ junto com $t_{0},\ldots ,t_{n-1}$ se, para cada número inteiro $i$ com $0\leq 1\leq n$, há um número inteiro $r(i)$ tal que $x_{i}=y_{r(i)}$ e tal que $t_{i}=s_{j}$ para algum $j$ com $r(i)\leq j\leq r(i+1)-1$. Dito de forma mais simples, um refinamento de um partição marcada toma a partição inicial e adiciona mais marcas, mas não tira nenhuma.

Ver também

• Integral de Riemann
• Integral de Riemann-Stieltjes
• Partição de um conjunto