Plano de fase

Na matemática aplicada, em particular no contexto de análise de sistemas não lineares, um plano de fase é uma exibição visual de certas características de alguns tipos de equações diferenciais; um plano de coordenadas com eixos sendo os valores das duas variáveis de estado, digamos que $(x,y)$ ou $(q,p)$ . Sejam esses quaisquer pares de variáveis. Este é um caso bidimensional do espaço de fase geral n-dimensional $.$

O método do plano de fase refere-se à determinação gráfica da existência de ciclos limites nas soluções da equação diferencial.

As soluções para a equação diferencial são uma família de funções. Graficamente, isso pode ser traçado no plano de fase como um campo vetorial bidimensional. Vetores representando as derivadas dos pontos em relação a um parâmetro (digamos, tempo $t$ ), ou seja $(dx/dt,\operatorname {d} \!y/\operatorname {d} \!t)$ , e são desenhados nos pontos representativos. Com essas setas, o comportamento do sistema nas regiões do plano em análise pode ser visualizado e os ciclos limites podem ser facilmente identificados.

Todo o campo é o retrato da fase, um caminho específico percorrido ao longo de uma linha de fluxo (ou seja, um caminho sempre tangente aos vetores) é um caminho de fase. Os fluxos no campo vetorial indicam a evolução no tempo do sistema que a equação diferencial descreve.

Dessa maneira, os planos de fase são úteis para visualizar o comportamento dos sistemas físicos ; em particular, de sistemas oscilatórios, como modelos predadores-presas (ver equações de Lotka-Volterra ). Nesses modelos, os caminhos de fase podem "espiralar" em direção ao zero, "espiralar" em direção ao infinito, ou alcançar situações neutras estáveis chamadas centros onde o caminho traçado pode ser circular, elíptico ou ovóide, assim como alguma variante do mesmo. Portanto, isso é útil para determinar se a dinâmica é estável ou não.^[1]

Outros exemplos de sistemas oscilatórios são certas reações químicas com várias etapas, algumas das quais envolvem equilíbrios dinâmicos em vez de reações que são totalmente concluídas. Nesses casos, pode-se modelar a ascensão e queda da concentração do reagente e do produto (ou massa ou quantidade de substância) com as equações diferenciais corretas e uma boa compreensão da cinética química .^[2]

Exemplo de um sistema linear editar

Um sistema bidimensional de equações diferenciais lineares pode ser escrito na forma:^[1]

{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=Ax+By\\{\frac {dy}{dt}}&=Cx+Dy\end{aligned}}

que pode ser organizado em uma equação matricial :

{\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}\\&{\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {A} \mathbf {x} .\end{aligned}}

onde A é a matriz do coeficiente 2 × 2 acima e x = (x, y) é um vetor de coordenadas de duas variáveis independentes .

Este sistema pode ser resolvido analiticamente usando, nesse caso, a integração $:$ ^[3]

${\frac {dy}{dx}}={\frac {Cx+Dy}{Ax+By}}$

embora as soluções sejam funções implícitas em $x$ e $y$ e sejam difíceis de interpretar.^[1]

Resolução usando valores próprios editar

\det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0

e autovetores :

\mathbf {A} \mathbf {x} =\lambda \mathbf {x}

Os autovetores representam as potências dos componentes exponenciais e os autovetores são coeficientes. Se as soluções são escritas em forma algébrica, elas expressam o fator de multiplicação fundamental do termo exponencial. Devido à não singularidade dos autovetores, todas as soluções obtidas dessa forma têm constantes indeterminadas $c_{1},c_{2},...,c_{n}$ .

A solução geral é:

x={\begin{bmatrix}k_{1}\\k_{2}\end{bmatrix}}c_{1}e^{\lambda _{1}t}+{\begin{bmatrix}k_{3}\\k_{4}\end{bmatrix}}c_{2}e^{\lambda _{2}t}.

onde $\lambda _{1}$ e $\lambda _{2}$ são os autovalores e $(k_{1},k_{2})$ , $(k_{3},k_{4})$ são os autovetores básicos. As constantes $c_{1}$ e $c_{2}$ são responsáveis pela não singularidade dos autovetores e não são solucionáveis, a menos que seja dada uma condição inicial para o sistema.

O determinante acima leva ao polinômio característico :

\lambda ^{2}-(A+D)\lambda +(AD-BC)=0

que é apenas uma equação quadrática da forma:

\lambda ^{2}-p\lambda +q=0

Onde;

p=A+D=\mathrm {tr} (\mathbf {A} )\,,

("tr" indica traço ) e

q=AD-BC=\det(\mathbf {A} )\,.

A solução explícita dos autovalores é então dada pela fórmula quadrática:

\lambda ={\frac {1}{2}}(p\pm {\sqrt {\Delta }})\,

Onde

\Delta =p^{2}-4q\,.

Autovetores e nós editar

Os autovetores e os nós determinam o perfil dos caminhos da fase, fornecendo uma interpretação pictórica da solução para o sistema dinâmico, conforme mostrado a seguir $:$

Classificação dos pontos de equilíbrio de um sistema linear autônomo .^[1] Esses perfis também surgem para sistemas autônomos não lineares em aproximações linearizadas.

O plano de fase é então configurado primeiro desenhando linhas retas representando os dois autovetores (que representam situações estáveis em que o sistema converge para essas linhas ou diverge delas). Em seguida, o plano de fase é traçado usando linhas completas em vez de traços de campo de direção. Os sinais dos autovalores dirão como o plano de fase do sistema se comporta:

Se os sinais forem opostos, a interseção dos autovetores é um ponto de sela .
Se os sinais forem positivos, os autovetores representam situações estáveis das quais o sistema diverge e a interseção é um nó instável .
Se os sinais forem negativos, os autovetores representam situações estáveis para as quais o sistema converge e a interseção é um nó estável .

Os casos acima podem ser visualizados lembrando o comportamento de termos exponenciais em soluções de equações diferenciais.

Autovalores repetidos editar

Este exemplo diz respeito apenas ao caso de autovalores reais e separados. Os autovalores reais e repetidos requerem a solução da matriz do coeficiente com um vetor desconhecido e o primeiro autovetor para gerar a segunda solução de um sistema dois por dois, $(2\times 2)$ . No entanto, se a matriz for simétrica, é possível usar o autovetor ortogonal para gerar a segunda solução.

Autovalores complexos editar

Autovalores e autovetores complexos geram soluções na forma de senos e cossenos, assim como exponenciais. Uma das simplicidades nessa situação é que apenas um autovalor e apenas um autovetor é necessário para gerar todo o conjunto de soluções para o sistema.

Ver também editar

Linha de fase, caso unidimensional
Espaço de fase, caso n- dimensional
Retrato de fase

Referências

↑ ^a ^b ^c ^d D.W. Jordan; P. Smith. Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-19-920825-8
↑ K.T. Alligood; T.D. Sauer; J.A. Yorke. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-38794-677-1
↑ W.E. Boyce; R.C. Diprima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. [S.l.: s.n.] ISBN 0-471-83824-1

Ligações externas editar

[Jordan,_Smith-1] D.W. Jordan; P. Smith. Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-19-920825-8

[2] K.T. Alligood; T.D. Sauer; J.A. Yorke. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-38794-677-1

[3] W.E. Boyce; R.C. Diprima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. [S.l.: s.n.] ISBN 0-471-83824-1

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