Em matemática , um problema de valor inicial ou problema de condições iniciais ou problema de Cauchy é uma equação diferencial que é acompanhada do valor da função objetivo em um determinado ponto, chamado de valor inicial ou condição inicial . Em física, biologia e outras áreas, a modelagem de um sistema frequentemente resulta em um problema de valor inicial (também chamado de P.V.I. ) a ser solucionado; nesse contexto, a equação diferencial é uma equação evolutiva especificando como o sistema evoluirá ao longo do tempo dadas condições iniciais.
Um problema de valor inicial (P.V.I. ) é uma equação diferencial da forma
{
y
′
(
t
)
=
f
(
t
,
y
(
t
)
)
y
(
t
0
)
=
y
0
{\displaystyle {\begin{cases}y'(t)=f(t,y(t))\\y(t_{0})=y_{0}\end{cases}}}
Uma solução para um P.V.I. é uma função
y
{\displaystyle y}
y
(
t
0
)
=
y
0
{\displaystyle y(t_{0})=y_{0}}
Em dimensões superiores, a equação diferencial é substituída por uma família de equações
y
i
′
(
t
)
=
f
i
(
t
,
y
1
(
t
)
,
y
2
(
t
)
,
…
,
y
n
(
t
)
)
{\displaystyle y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc ,y_{n}(t))}
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)}
(
y
1
(
t
)
,
y
2
(
t
)
,
…
,
y
n
(
t
)
)
{\displaystyle (y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc ,y_{n}(t))}
y
{\displaystyle y}
Espaço de Banach ou o espaço de distribuições .
P.V.I.s podem ser analisados em ordens superiores tratando as derivadas como uma função independente, e.g.
y
″
(
t
)
=
f
(
t
,
y
(
t
)
,
y
′
(
t
)
)
{\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t))}
Existência e unicidade de soluções
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Para uma grande classe de P.V.I.s, a existência e unicidade de uma solução pode ser ilustrada através do uso de uma calculadora.
O teorema de Picard-Lindelöf garante a unicidade da solução em um intervalo que contém t0 se f é continua em uma região contendo t 0 y 0 condição de Lipschitz na variável y .
A prova desse teorema provem de uma reformulação do problema como uma equação integral equivalente. A integral pode ser considerada como um operador que transforma uma função em outra, de modo que a solução é um ponto fixo do operador. O teorema do ponto fixo de Banach é evocado para mostrar que existe um único ponto fixo que é solução do P.V.I..
Uma prova antiga do teorema de Picard–Lindelöf constrói uma sequência de funções que convergem para a solução da equação integral, e assim, para a solução do P.V.I.. Essa construção é chamada às vezes de "método de Picard " ou "método de aproximações sucessivas ".
Hiroshi Okamura obteve uma condição necessária e suficiente para a solução do P.V.I. ser única. Essa condição tem a ver com a existência de uma função de Lyapunov para o sistema de EDOs.
Em algumas situações, a função f não é de classe C1 , ou mesmo Lipschitz continua, então o resultado usual garantindo a existência local de uma solução única não se aplica. No entanto, o teorema de existência de Peano prova que mesmo para f meramente contínua, existem soluções locais; porém não há garantia de unicidade.[ 1] [ 2]
O problema de condição inicial
{
d
y
d
x
=
y
y
(
0
)
=
2
{\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}=y\\y(0)=2\end{cases}}}
d
y
d
x
=
y
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=y}
d
y
d
x
−
y
=
0
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}-y=0}
Pelo método do fator integrante , multiplica-se esta equação por
e
−
x
{\displaystyle e^{-x}}
e
−
x
d
y
d
x
−
e
−
x
y
=
e
−
x
0
{\displaystyle e^{-x}{\frac {dy}{dx}}-e^{-x}y=e^{-x}0}
O primeiro lado da equação pode ser simplificado usando a regra da cadeia
d
(
f
×
g
)
d
x
=
d
f
d
x
×
g
+
f
×
d
g
d
x
{\displaystyle {\frac {d(f\times g)}{dx}}={\frac {df}{dx}}\times g+f\times {\frac {dg}{dx}}}
d
(
y
e
−
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle {\frac {d(ye^{-x})}{dx}}=0}
Integrando os dois lados da equação, obtém-se:
y
e
−
x
=
c
1
{\displaystyle ye^{-x}=c_{1}}
com
c
1
{\displaystyle c_{1}}
Isolando y, obtém-se então infinitas soluções para a equação diferencial, por causa da arbitrariedade de
c
1
{\displaystyle c_{1}}
y
(
x
)
=
c
1
e
x
{\displaystyle y(x)=c_{1}e^{x}}
Porém, só existe uma única solução que satisfaz as condições iniciais:
y
(
0
)
=
c
1
e
0
{\displaystyle y(0)=c_{1}e^{0}}
2
=
c
1
{\displaystyle 2=c_{1}}
Portanto, a solução (única) do P.V.I. é:
y
(
x
)
=
2
e
x
{\displaystyle y(x)=2e^{x}}
Oscilador harmônico
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No caso de um sistema massa-mola sem atrito e sem força externa atuando, ao aplicar-se a segunda lei de Newton , obtém-se a seguinte relação:
m
a
(
t
)
=
−
k
x
(
t
)
{\displaystyle ma(t)=-kx(t)}
Ou seja:
m
d
2
x
(
t
)
d
t
2
=
−
k
x
(
t
)
{\displaystyle m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=-kx(t)}
Onde
m
{\displaystyle \textstyle m}
x
{\displaystyle \textstyle x}
k
{\displaystyle \textstyle k}
Um dos métodos de se achar a solução dessa equação diferencial é usar transformada de Laplace . Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtém-se o seguinte:
m
L
{
d
2
x
(
t
)
d
t
2
}
=
−
k
L
{
x
(
t
)
}
{\displaystyle m{\mathcal {L}}\left\{{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}\right\}=-k{\mathcal {L}}\{x(t)\}}
Usando as propriedades da transformada de Laplace , a equação segue escrita como:
m
(
s
2
L
{
x
(
t
)
}
−
s
x
(
0
)
−
d
x
d
t
(
0
)
)
=
−
k
L
{
x
(
t
)
}
{\displaystyle m\left(s^{2}{\mathcal {L}}\{x(t)\}-sx(0)-{\frac {dx}{dt}}(0)\right)=-k{\mathcal {L}}\{x(t)\}}
De onde pode-se isolar o termo
L
{
x
(
t
)
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{x(t)\}}
m
s
2
L
{
x
(
t
)
}
−
m
s
x
(
0
)
−
m
d
x
d
t
(
0
)
=
−
k
L
{
x
(
t
)
}
{\displaystyle ms^{2}{\mathcal {L}}\{x(t)\}-msx(0)-m{\frac {dx}{dt}}(0)=-k{\mathcal {L}}\{x(t)\}}
m
s
2
L
{
x
(
t
)
}
+
k
L
{
x
(
t
)
}
=
m
s
x
(
0
)
+
m
d
x
d
t
(
0
)
{\displaystyle ms^{2}{\mathcal {L}}\{x(t)\}+k{\mathcal {L}}\{x(t)\}=msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}
(
m
s
2
+
k
)
L
{
x
(
t
)
}
=
m
s
x
(
0
)
+
m
d
x
d
t
(
0
)
{\displaystyle (ms^{2}+k){\mathcal {L}}\{x(t)\}=msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}
L
{
x
(
t
)
}
=
m
s
x
(
0
)
+
m
d
x
d
t
(
0
)
m
s
2
+
k
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{x(t)\}={\frac {msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}{ms^{2}+k}}}
L
{
x
(
t
)
}
(
m
s
2
+
k
)
=
m
s
x
(
0
)
+
m
d
x
d
t
(
0
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{x(t)\}(ms^{2}+k)=msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}
L
{
x
(
t
)
}
=
m
s
x
(
0
)
+
m
d
x
d
t
(
0
)
m
s
2
+
k
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{x(t)\}={\frac {msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}{ms^{2}+k}}}
Aplicando a transformada inversa de Laplace , obtém-se:
L
−
1
{
L
{
x
(
t
)
}
}
=
L
−
1
{
m
s
x
(
0
)
+
m
d
x
d
t
(
0
)
m
s
2
+
k
}
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\mathcal {L}}\{x(t)\}\right\}={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}{ms^{2}+k}}\right\}}
x
(
t
)
=
x
(
0
)
L
−
1
{
m
s
m
s
2
+
k
}
+
d
x
d
t
(
0
)
L
−
1
{
m
m
s
2
+
k
}
{\displaystyle x(t)=x(0){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {ms}{ms^{2}+k}}\right\}+{\frac {dx}{dt}}(0){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {m}{ms^{2}+k}}\right\}}
x
(
t
)
=
x
(
0
)
L
−
1
{
s
s
2
+
k
m
}
+
d
x
d
t
(
0
)
L
−
1
{
1
s
2
+
k
m
}
{\displaystyle x(t)=x(0){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+{\frac {k}{m}}}}\right\}+{\frac {dx}{dt}}(0){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s^{2}+{\frac {k}{m}}}}\right\}}
Utilizando uma tabela de transformadas , a equação se escreve:
x
(
t
)
=
x
(
0
)
c
o
s
(
k
m
t
)
+
m
k
d
x
d
t
(
0
)
s
i
n
(
k
m
t
)
{\displaystyle x(t)=x(0)cos\left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+{\sqrt {\frac {m}{k}}}{\frac {dx}{dt}}(0)sin\left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)}
Logo, é necessário definir as condições iniciais
x
(
0
)
{\displaystyle x(0)}
d
x
d
t
(
0
)
{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(0)}
Circuito RLC com pulso de amplitude
V
0
{\displaystyle \textstyle V_{0}}
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A equação que descreve tal circuito é dada por:
Potencial a um pulso unitário de amplitude 100V
V
(
t
)
=
V
0
(
u
(
t
−
a
)
−
u
(
t
−
b
)
)
{\displaystyle V(t)=V_{0}(u(t-a)-u(t-b))}
Onde
u
(
t
)
{\displaystyle \textstyle u(t)}
V
(
t
)
{\displaystyle \textstyle V(t)}
Lei das malhas Kirchhoff como:
V
(
t
)
=
L
d
i
(
t
)
d
t
+
R
i
(
t
)
+
1
C
q
(
t
)
{\displaystyle V(t)=L{\frac {di(t)}{dt}}+Ri(t)+{\frac {1}{C}}q(t)}
Dados
L
=
1
H
{\displaystyle \textstyle L=1H}
R
=
2
Ω
{\displaystyle \textstyle R=2\Omega }
C
=
1
F
{\displaystyle \textstyle C=1F}
d
i
(
t
)
d
t
+
2
i
(
t
)
+
q
(
t
)
=
V
0
(
u
(
t
−
a
)
−
u
(
t
−
b
)
)
{\displaystyle {\frac {di(t)}{dt}}+2i(t)+q(t)=V_{0}(u(t-a)-u(t-b))}
Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo, obtemos:
d
2
i
(
t
)
d
t
2
+
2
d
i
(
t
)
d
t
+
i
(
t
)
=
V
0
(
δ
(
t
−
a
)
−
δ
(
t
−
b
)
)
{\displaystyle {\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+2{\frac {di(t)}{dt}}+i(t)=V_{0}(\delta (t-a)-\delta (t-b))}
No passo anterior utilizamos o fato de que a derivada da função de heaviside
u
(
t
)
{\displaystyle \textstyle u(t)}
δ
(
t
)
{\displaystyle \textstyle \delta (t)}
d
u
(
t
)
d
t
=
δ
(
t
)
{\displaystyle {\frac {du(t)}{dt}}=\delta (t)}
Também lançamos mão dos seguintes conceitos de eletromagnetismo :
q
(
t
)
=
∫
0
t
i
(
t
)
d
t
{\displaystyle q(t)=\int _{0}^{t}i(t)dt}
d
q
(
t
)
d
t
=
i
(
t
)
−
i
(
0
)
=
i
(
t
)
{\displaystyle {\frac {dq(t)}{dt}}=i(t)-i(0)=i(t)}
Onde utilizamos nossa primeira condição inicial:
i
(
0
)
=
0
{\displaystyle \textstyle i(0)=0}
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
L
{
d
2
i
(
t
)
d
t
2
}
+
2
L
{
d
i
(
t
)
d
t
}
+
L
{
i
(
t
)
}
=
V
0
(
L
{
δ
(
t
−
a
)
}
−
L
{
δ
(
t
−
b
)
}
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}\right\}+2{\mathcal {L}}\left\{{\frac {di(t)}{dt}}\right\}+{\mathcal {L}}\{i(t)\}=V_{0}({\mathcal {L}}\{\delta (t-a)\}-{\mathcal {L}}\{\delta (t-b)\})}
s
2
L
{
i
(
t
)
}
−
s
i
(
0
)
−
d
i
d
t
(
0
)
+
2
s
L
{
i
(
t
)
}
−
2
i
(
0
)
+
L
{
i
(
t
)
}
=
V
0
(
e
−
a
s
−
e
−
b
s
)
{\displaystyle s^{2}{\mathcal {L}}\{i(t)\}-si(0)-{\frac {di}{dt}}(0)+2s{\mathcal {L}}\{i(t)\}-2i(0)+{\mathcal {L}}\{i(t)\}=V_{0}(e^{-as}-e^{-bs})}
Devido as condições iniciais,
i
(
0
)
=
0
{\displaystyle \textstyle i(0)=0}
d
i
d
t
(
0
)
=
0
{\displaystyle \textstyle {\frac {di}{dt}}(0)=0}
s
2
L
{
i
(
t
)
}
+
2
s
L
{
i
(
t
)
}
+
L
{
i
(
t
)
}
=
V
0
(
e
−
a
s
−
e
−
b
s
)
{\displaystyle s^{2}{\mathcal {L}}\{i(t)\}+2s{\mathcal {L}}\{i(t)\}+{\mathcal {L}}\{i(t)\}=V_{0}(e^{-as}-e^{-bs})}
Isolando
L
{
i
(
t
)
}
{\displaystyle \textstyle {\mathcal {L}}\{i(t)\}}
L
{
i
(
t
)
}
(
s
2
+
2
s
+
1
)
=
V
0
(
e
−
a
s
−
e
−
b
s
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{i(t)\}(s^{2}+2s+1)=V_{0}(e^{-as}-e^{-bs})}
L
{
i
(
t
)
}
=
V
0
(
e
−
a
s
−
e
−
b
s
)
(
s
2
+
2
s
+
1
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{i(t)\}={\frac {V_{0}(e^{-as}-e^{-bs})}{(s^{2}+2s+1)}}}
Manipulamos a equação de modo a chegar no formato de uma expressão tabelada :
Corrente devido a um pulso unitário entre t = 1 e t = 2 com V0 = 100V
L
{
i
(
t
)
}
=
V
0
e
−
a
s
1
(
s
+
1
)
2
−
V
0
e
−
b
s
1
(
s
+
1
)
2
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{i(t)\}=V_{0}e^{-as}{\frac {1}{(s+1)^{2}}}-V_{0}e^{-bs}{\frac {1}{(s+1)^{2}}}}
Aplicando a transformada inversa :
i
(
t
)
=
V
0
L
−
1
{
e
−
a
s
1
(
s
+
1
)
2
}
−
V
0
L
−
1
{
e
−
b
s
1
(
s
+
1
)
2
}
{\displaystyle i(t)=V_{0}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}{\frac {1}{(s+1)^{2}}}\right\}-V_{0}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-bs}{\frac {1}{(s+1)^{2}}}\right\}}
Consultando uma tabela de transformadas de Laplace , obtemos o resultado:
i
(
t
)
=
V
0
u
(
t
−
a
)
(
t
−
a
)
e
−
(
t
−
a
)
−
V
0
u
(
t
−
b
)
(
t
−
b
)
e
−
(
t
−
b
)
{\displaystyle i(t)=V_{0}u(t-a)(t-a)e^{-(t-a)}-V_{0}u(t-b)(t-b)e^{-(t-b)}}
Onde utilizamos a propriedade do deslocamento no eixo t e deslocamento no eixo s
Referências
↑ Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). Theory of ordinary differential equations. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company, Inc. (Teorema 1.3)
↑ Robinson, James C. (2001). Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge: Cambridge University Press. (Teorema 2.6)
