Quantização (física)

Em física, uma quantização é um procedimento matemático que atribui um valor específico a um sistema físico; assim contrariando a ideia de que determinadas unidades, como energia e carga elétrica, eram continuas.

Definição formal

Concretamente dada a descrição hamiltoniana de um sistema clássico mediante uma variedade simplética $({\mathcal {M}},\omega )$ pode ser definida formalmente o processo de quantização como a construção de um espaço de Hilbert ${\mathcal {H}}$ tal que ao conjunto de magnitudes físicas ou observáveis medíveis no sistema clássico $f_{i}\,$ se assinala um conjunto de observáveis quânticos ou operadores auto-adjuntos ${\hat {f}}_{i}$ tais que:

1. $(f_{i}+f_{j}){\hat {}}={\hat {f}}_{j}+{\hat {f}}_{j}$
2. $(\lambda f_{i}){\hat {}}=\lambda {\hat {f}}_{j}\qquad \lambda \in \mathbb {R}$
3. $\{f_{i},f_{j}\}{\hat {}}=-i[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}]$
4. ${\hat {1}}=I_{\mathcal {H}}$
5. Os operadores de posição ${\hat {q}}_{i}$ e seus momentos conjugados ${\hat {p}}_{i}$ atuam irreduzivelmente sobre ${\mathcal {H}}$.

Onde $I_{\mathcal {H}}$ é a aplicação identidade sobre o espaço de Hilbert assinado ao sistema, $\{\cdot ,\cdot \}$ é o parênteses de Poisson e $[\cdot ,\cdot ]$ é o comutador de operadores.

Pelo teorema de Stone-von Neumann a condição (5) implica que os graus de libertade de deslocamento nos obrigam a tomar ${\mathcal {H}}\approx L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ e um operador é multiplicativo e outro derivativo. Assim usam-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas espaciais:

${\hat {q}}_{i}\psi (q_{i})=q_{i}\psi (q_{i})\qquad {\hat {p}}_{i}\psi (q_{i})=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\psi (q_{i})$

Usa-se a representação em forma de função de onda em termos das coordenadas de momento conjugado:

${\hat {p}}_{i}\psi (p_{i})=p_{i}{\tilde {\psi }}(p_{i})\qquad {\hat {q}}_{i}\psi (p_{i})=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial p_{i}}}{\tilde {\psi }}(p_{i})$

Sistemas quantizáveis

Um sistema hamiltoniano clássico definido sobre uma variedade simplética $({\mathcal {M}},\omega )$ se chama quantizável se existe um $S^{1}$-fibrado principal $\pi :{\mathcal {Q_{M}}}\to {\mathcal {M}}$ e uma 1-forma $\alpha \;$ sobre ${\mathcal {Q_{M}}}$, chamada variedade de quantização, tal que:

1. $\alpha \;$ é invariante sob a ação de $S^{1}[\approx U(1)]$
2. $\pi ^{*}\omega =d\alpha \;$

Um resultado recolhido em Steenrod 1951 implica que uma variedade é quantizável se a segunda classe de co-homologia satisfaz certa propriedade:

$({\mathcal {M}},\omega )$ é quantizável se e somente se $\omega /h\in H^{2}({\mathcal {M}},\mathbb {Z} )$,

ou seja, a integral da forma simplética integrada sobre uma variedade compacta de dimensão 2 é um número inteiro multiplicado pela constante de Planck. É mais naqueles casos em que existe mais de um modo de quantizar um sistema clássico, as diferentes quantizações podem classificar-se de acordo com a forma de $H^{1}({\mathcal {M}},\mathbb {Z} )$

Primeira quantização

Os procedimentos de primeira quantização são métodos que permitem construir modelos de uma partícula dentro da mecânica quântica a partir da correspondente descrição clássica do espaço de fases de uma partícula.

• A quantização canônica, é um procedimento informal que assinala a magnitude física expressável em termos das coordenadas canônicas do sistema clássico, um operador obtido por substituição direta das variáveis canônicas por operadores hermíticos P_i e Q_i que satisfazem as relações [Q_i,P_i] = ih/2π, [Q_i,Q_j] = 0, [P_i,P_j] = 0 e [Q_i,P_j] = 0.
• A quantização de Weyl, é um procedimento para construir um operador hermítico sobre o espaço $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ para um sistema cujo espaço de fases clássico tenha uma topologia $\mathbb {R} ^{2n}$. Esta técnica foi descrita pela primeira vez por Hermann Weyl em 1927.

Segunda quantização

Ver artigo principal: Segunda quantização

Os procedimentos de segunda quantização são métodos para construir teorias quânticas de campos a partir de uma teoria clássica de campos.

• Quantização canônica, é uma extensão do procedimento de quantização canônica empregado na primeira quantização mas estendido neste caso a mais de uma partícula.
• Quantização canônica covariante.
• Quantização mediante integrais de caminho, proposto por Feynmann e Kac que depende de construir uma medida cotada em um espaço de Hilbert a partir do funcional de ação.
• Quantização geométrica.
• Aproximação variacional de Schwinger.

Referências

Bibliografia

• Abraham, R. & Marsden (1985): Foundations of Mechanics, ed. Addison-Wesley, ISBN 0-8053-0102-X.
• M. Peskin, D. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, 1995) [ISBN 0-201-50397-2]
• Weinberg, Steven, The Quantum Theory of Fields (3 volumes)