Série geométrica

A série geométrica é a série que se obtém quando se tenta somar os infinitos termos de uma progressão geométrica:

Progressão geométrica descendente com proporção de 1/4 e prova visual de que o limite da soma das frases é 1/3.

$$\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}=1+r+r^{2}+r^{3}+\ldots$$

(Veja somatório)

Esta série é convergente se e somente se $|r|<1$ e, neste caso, a soma vale:

$$\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}$$

(Veja somatório)

Convergência

Da teoria das progressões geométricas, temos que:

$$\sum _{n=N1}^{N2}r^{n}=r^{N1}{\frac {1-r^{N2-N1+1}}{1-r}}$$

$$\sum _{n=0}^{N}r^{n}={\frac {1-r^{N+1}}{1-r}}={\frac {1}{1-r}}-{\frac {r^{N+1}}{1-r}}$$

É fácil ver que se $|r|<1$ então esta série é convergente e sua soma é dada por:

$$\sum _{n=0}^{\infty }r^{n}={\frac {1}{1-r}}$$

Por outro lado, se $|r|\geq 1$, esta série não pode ser convergente pelo teste do termo geral.

De maneira geral, para qualquer série geométrica, cujo valor da Razão r seja menor que 1, sua soma é dada por:

$$\sum _{n=0}^{\infty }ar^{n}={\frac {a}{1-r}}$$

Onde "a" é o termo inicial da série.

Exemplos

Podemos utilizar esta série para calcular algumas séries de Taylor:

• ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n},~~|x|<1$
• ${\frac {1}{1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n},~~|x|<1$
• ${\frac {1}{1-x^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{2n},~~|x|<1$