Subespaço topológico

Em topologia, um subespaço topológico de um espaço X é um subconjunto de X munido da topologia relativa, definida a seguir.

Topologia relativa

A topologia relativa ou induzida num subespaço S de um espaço topológico X é o conjunto das intersecções de S com os abertos de X.

Essa topologia é canônica no seguinte sentido: ela é a menor topologia de S para a qual a função inclusão $i:S\rightarrow X,i(s)=s\,$ é contínua.

Menor tem um sentido preciso, como a interseção de todas as topologias possíveis de S que tornam i uma função contínua. Essa interseção é bem definida, porque a topologia discreta em S torna i (ou qualquer outra função) contínua.

Hereditariedade

Algumas propriedades dos espaços topológicos passam para os seus subespaços:

• Um subespaço de um espaço finito é finito;
• Um subespaço de um espaço discreto é discreto;
• Um subespaço de um espaço separado é separado;
• Um subespaço fechado de um espaço compacto é compacto