Teorema de Lucas

 Nota: Se procura o teorema de análise complexa, veja Teorema de Gauss-Lucas.

Em teoria dos números, o teorema de Lucas, publicado em 1878 por Édouard Lucas, afirma o seguinte:

Sejam m e n números inteiros não negativos, p um número primo e sejam

$m=m_{k}p^{k}+m_{k-1}p^{k-1}+\cdots +m_{1}p+m_{0},$

e

$n=n_{k}p^{k}+n_{k-1}p^{k-1}+\cdots +n_{1}p+n_{0}$

os desenvolvimentos de m e n, respetivamente, na base p.

Então

${\binom {m}{n}}\equiv \prod _{i=0}^{k}{\binom {m_{i}}{n_{i}}}{\pmod {p}},$

onde ${\binom {m}{n}}={\frac {m!}{n!(m-n)!}}$ denota o coeficiente binomial de m sobre n.

Em particular, o coeficiente binomial ${\binom {m}{n}}$ é divisível por um número primo p tal como por pelo menos um dos dígitos de n na base p é maior que o dígito correspondente de m — Édouard Lucas, 1878.

Ligações externas

• Lucas's Theorem, PlanetMath (em inglês)
• Andrew Granville. The Arithmetic Properties of Binomial Coefficients ("As propriedades aritméticas dos coeficientes binomiais", em inglês).