Teorema de Poynting

Em Eletrodinâmica e Eletromagnetismo, o teorema de Poynting expressa a lei da conservação da energia para o campo eletromagnético, sob a forma de uma equação diferencial parcial, estabelecida pelo físico britânico John Henry Poynting.

O teorema de Poynting é análogo ao teorema de trabalho e energia da mecânica clássica, e matematicamente semelhante à equação da continuidade, pois relaciona a energia armazenada no campo eletromagnético ao trabalho feito sobre uma distribuição de carga pelo campo elétrico, através do fluxo de energia por unidade de tempo.

Definição

Geral

Em palavras, o teorema é um balanço de energia:

A taxa de transferência de energia (por unidade de volume) a partir de uma região de espaço é igual à taxa de trabalho realizado(por unidade de tempo) sobre uma distribuição de carga, mais o fluxo de energia deixando essa região.

Relaciona a derivada temporal da densidade de energia eletromagnética com o fluxo de energia e a taxa em que o campo elétrico realiza um trabalho sobre uma distribuição de cargas.

Na forma diferencial, pode ser expressada pela fórmula:

                                              $-{\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla \cdot {\vec {S}}+{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}$

$\nabla \cdot {\vec {S}}$ é a divergência do vetor de Poynting (fluxo de energia saindo da região), ${\vec {J}}\cdot {\vec {E}}$ o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma distribuição de cargas (J é a Densidade de corrente livre devido ao movimento das cargas), e u é a energia armazenada no campo eletromagnético, dada pela formula:

                              $u={\frac {1}{2}}\left({\vec {E}}\cdot {\vec {D}}+{\vec {B}}\cdot {\vec {H}}\right)={\frac {1}{2}}[\int _{V}\epsilon _{0}E^{2}dV+\int _{V}\mu _{0}H^{2}dV]$

em que D é o deslocamento elétrico, S é o vetor de Poynting, B representa a densidade de fluxo magnético e H a intensidade de campo magnético.

A partir do teorema da divergência, o teorema de Poynting pode ser reescrito na forma integral:

                        ${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}E^{2}dV+{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}{\frac {1}{2}}\mu _{0}H^{2}dV=-\oint _{A}({\vec {E}}\times {\vec {H}})\cdot d{\vec {A}}-\int _{V}{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}dV$

onde ${\vec {E}}\times {\vec {H}}$.é o vetor de Poynting instantâneo, $\mu _{0}$ e $\epsilon _{0}$ são as constantes de permeabilidades magnética e elétrica do vácuo respectivamente.

Engenharia Elétrica

Do ponto de vista da engenharia elétrica, o teorema geralmente é escrito com o termo densidade de energia eletromagnética $u$ ampliado, de forma que se assemelha à equação da continuidade:

                                     $\nabla \cdot {\vec {S}}+\epsilon _{0}{\vec {E}}\cdot {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}+{\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}+{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}=0$

Onde:

• $\epsilon _{0}$ é a permissividade elétrica do vácuo;
• $\mu _{0}$ é a permeabilidade magnética do vácuo;
• $\epsilon _{0}{\vec {E}}\cdot {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$ é a potência reativa acumulada no campo elétrico;
• ${\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}\cdot {\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$é a potência reativa acumulada no campo magnético;
• ${\vec {J}}\cdot {\vec {E}}$ representa a densidade de energia elétrica dissipada pela força de Lorentz agindo sobre distribuições de carga.

Verificação do Teorema

Usando o teorema na forma integral, é simples demonstrar a validade do mesmo em um fio circulando uma corrente contínua.

Considere uma corrente $I$ contínua em um comprimento $L$ de um fio de raio $a$. Agora, considerando que os campos elétrico e magnético não variam com o tempo, a taxa de variação da energia armazenada nos mesmos é igual a zero, portanto:

(a) Uma corrente contínua, fluindo na direção +z em um fio de raio a. (b) Seção transversal do fio mostrando a orientação dos campos e o vetor de Poynting instantâneo na superfície do fio.

$\oint _{A}({\vec {E}}\times {\vec {H}})\cdot d{\vec {A}}=-\int _{V}{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}dV$

A corrente é assumida como estando uniformemente distribuída, de modo que a densidade de corrente seja:

${\vec {J}}={\frac {I}{\pi a^{2}}}{\hat {z}}$

sendo ${\hat {z}}$ o vetor unitário apontando na direção +z.

Pela lei de Ohm, o campo elétrico é

${\vec {E}}={\frac {\vec {J}}{\sigma }}={\frac {I}{\pi a^{2}\sigma }}{\hat {z}}$

sendo $\sigma$ a condutividade elétrica do fio.

No membro direito do teorema, usando coordenadas cilíndricas, temos:

$-\int _{V}{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}dV=-{\frac {I^{2}}{\sigma (\pi a^{2})^{2}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}\int _{0}^{L}rdzdrd\theta =-I^{2}{\frac {L}{\sigma \pi a^{2}}}=-I^{2}R$

No membro da esquerda, precisamos de H. Aplicando a lei de Ampère, podemos determinar H na superfície do fio como sendo

${\vec {H}}={\frac {I}{2\pi a}}{\hat {\theta }}$

sendo ${\hat {\theta }}$ o vetor unitário na direção tangente ao fio.

O vetor de poynting instantâneo é:

${\vec {P}}={\vec {E}}\times {\vec {H}}={\frac {I}{\sigma \pi a^{2}}}{\hat {z}}\times {\frac {I}{2\pi a}}{\hat {\theta }}$

${\vec {P}}={\frac {I^{2}}{2\pi ^{2}a^{3}\sigma }}{\hat {r}}$

sendo ${\hat {r}}$ o vetor unitário na direção radial do fio.

O vetor ${\vec {P}}$ está direcionado radialmente para o interior do fio. Integrando sobre a superfície, temos:

$\oint _{A}({\vec {E}}\times {\vec {H}})\cdot {\vec {dA}}=\oint _{A}{\vec {P}}\cdot {\vec {dA}}=-{\frac {I^{2}a}{2\pi ^{2}\sigma a^{3}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{L}dzd\theta =-I^{2}{\frac {L}{\sigma \pi a^{2}}}=-I^{2}R$

Esta parte do teorema diz que $-I^{2}R$ é a potência fluindo para fora do fio.

Aplicando esses valores no teorema, temos

$\oint _{A}({\vec {E}}\times {\vec {H}})\cdot {\vec {dA}}=-\int _{V}{\vec {J}}\cdot {\vec {E}}dV$

$-I^{2}R=-I^{2}R$

Logo, se não há uma variação na energia armazenada no campo eletromagnético que flui nessa região, a potência que flui para fora dessa região do fio é dissipada na forma de trabalho sobre as cargas por efeito joule.