Teorema de Rivlin-Ericksen

O teorema de Rivlin-Ericksen (1955) se deve fundamentalmente a Ronald Rivlin e estabece uma limitação importante à equação constitutiva de um sólido deformável isotrópico e objetivo.

Enunciado do teorema

O teorema afirma que sr $\mathbf {C}$ é o tensor de resposta que relaciona o tensor gradiente de deformação F com o tensor tensão T de um material objetivo e isotrópicoo, cujo tensor gradiente de deformação é F então seu tensor tensão é dado por:

$T=\mathbf {C} (F)={\bar {\mathbf {C} }}(FF^{T})$

Onde:

${\bar {\mathbf {C} }}:\mathbf {S_{>3}\subset {M_{3}}} \to \mathbf {S_{3}} \subset {\mathbf {M_{3}} }$

${\bar {\mathbf {C} }}(E)=\beta _{0}(\iota _{E})I+\beta _{1}(\iota _{E})E+\beta _{2}(\iota _{E})E^{2}$

$\mathbf {M_{3}}$, conjunto de matrizes de 3×3.

$\mathbf {S_{3}}$, conjunto de matrizes 3×3 simétricas.

$\mathbf {S_{>3}}$, conjunto de matrizes 3×3 simétricas definidas positivas.

$\iota _{E}$, conjunto de invariantes algébricos (traço, invariante quadrático e determinante), da matriz E.

Tendo-se em conta que relação entre o tensor gradiente de deformação F, o tensor de Finger B = FF^T e o tensor deformação espacial (de Almansi) D_e é simplesmente:

$B=FF^{T}=(I-2D_{e})^{-1}\,$

Onde I é a matriz identidade, pode ver-se qual é a forma mais geral possível de tensor resposta ou equação constitutiva de um material isotrópico:

$T=\beta _{0}(\iota _{B})I+\beta _{1}(\iota _{B})(I-2D_{e})^{-1}+\beta _{2}(\iota _{B})(I-2D_{e})^{-2}\,$

Sólidos elásticos lineares e isotrópicos

Para o caso de sólidos elásticos lineares se pode demonstrar rigorosamente a partir do teorema de Rivlin-Ericksen que o tensor tensão T e o tensor deformação D estão relacionados por:

$T=\mathbf {C} (I+2D)=\lambda tr(D)I+2\mu D$

Onde λ w μ recebem os nomes de primeiro e segundo coeficientes de Lamé, e são constantes elásticas específicas de cada material. Ou seja, um sólido elástico linear tem:

$\beta _{0}(\iota _{D})=\lambda tr(D)-\mu ;\qquad \beta _{1}(\iota _{D})=\mu ;\qquad \beta _{2}(\iota _{E})=0\,$

Ligações externas

• «Contribuções de Rivlin à mecânica da fratura» (em espanhol). - www.rubberconsultants.com 

Bibliografia

• Dietrich Braess, Finite Elements: Theory, fast solvers and aplications in solid mechanics, Cambridge University Press, 1997, pp. 254–255.
• Tomas Carlsson, Frank M. Leslie: The development of theory for flow and dynamic effects for nematic liquid crystals, Liquid Crystals, V 26, N 9 / September 1, 1999, pp. 1267 – 1280, URL: taylorandfrancis.metapress.com