Em matemática , o teorema do ponto fixo de Banach , também conhecido como teorema da contração uniforme , é um dos resultados fundamentais em espaços métricos . Ele garante a existência e unicidade de pontos fixos em certas aplicações.
Seja
X
{\displaystyle \mathbb {X} \,}
espaço métrico completo não vazio com uma métrica
d
{\displaystyle d\,}
Uma aplicação
f
:
X
→
X
{\displaystyle f:\mathbb {X} \to \mathbb {X} \,}
contração uniforme , se existir uma constante
0
≤
β
<
1
{\displaystyle 0\leq \beta <1\,}
d
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
≤
β
d
(
x
,
y
)
,
∀
x
,
y
∈
X
{\displaystyle d\left(f(x),f(y)\right)\leq \beta d(x,y),\forall x,y\in \mathbb {X} \,}
O teorema estabelece que existe um único ponto fixo
x
∗
∈
X
{\displaystyle x^{*}\in \mathbb {X} \,}
f
(
x
∗
)
=
x
∗
{\displaystyle f(x^{*})=x^{*}\,}
Demonstração da unicidade
editar
Sejam
x
{\displaystyle x\,}
y
{\displaystyle y\,}
f
{\displaystyle f\,}
d
(
x
,
y
)
=
d
(
f
(
x
)
,
f
(
y
)
)
≤
β
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle d(x,y)=d\left(f(x),f(y)\right)\leq \beta d(x,y)}
d
(
x
,
y
)
≤
β
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle d(x,y)\leq \beta d(x,y)}
(
1
−
β
)
d
(
x
,
y
)
≤
0
{\displaystyle (1-\beta )d(x,y)\leq 0}
Como
0
≤
β
<
1
{\displaystyle 0\leq \beta <1}
d
(
x
,
y
)
≤
0
{\displaystyle d(x,y)\leq 0}
d
(
x
,
y
)
≥
0
{\displaystyle d(x,y)\geq 0}
d
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle d(x,y)=0}
x
=
y
{\displaystyle x=y}
Demonstração da existência
editar
Escolha um ponto qualquer
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in \mathbb {X} \,}
x
n
+
1
=
f
(
x
n
)
,
∀
n
≥
1
{\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\forall n\geq 1}
Mostraremos que esta é uma sucessão de Cauchy , para tal estime pela desigualdade triangular :
d
(
x
n
+
k
,
x
n
)
≤
∑
j
=
1
k
−
1
d
(
x
n
+
j
,
x
n
+
j
−
1
)
{\displaystyle d(x_{n+k},x_{n})\leq \sum _{j=1}^{k-1}d\left(x_{n+j},x_{n+j-1}\right)}
Agora usando a definição de contração temos:
d
(
x
n
+
j
,
x
n
+
j
−
1
)
≤
β
n
+
j
−
1
d
(
x
1
,
x
0
)
{\displaystyle d(x_{n+j},x_{n+j-1})\leq \beta ^{n+j-1}d\left(x_{1},x_{0}\right)}
De forma que:
d
(
x
n
+
k
,
x
n
)
≤
∑
j
=
1
k
−
1
β
n
+
j
−
1
d
(
x
1
,
x
0
)
≤
d
(
x
1
,
x
0
)
β
n
∑
j
=
1
∞
β
j
−
1
{\displaystyle d(x_{n+k},x_{n})\leq \sum _{j=1}^{k-1}\beta ^{n+j-1}d\left(x_{1},x_{0}\right)\leq d(x_{1},x_{0})\beta ^{n}\sum _{j=1}^{\infty }\beta ^{j-1}}
d
(
x
n
+
k
,
x
n
)
≤
d
(
x
1
,
x
0
)
β
n
1
−
β
→
0
,
n
→
∞
{\displaystyle d(x_{n+k},x_{n})\leq d(x_{1},x_{0}){\frac {\beta ^{n}}{1-\beta }}\to 0,n\to \infty }
Assim a
x
n
{\displaystyle x_{n}\,}
x
∗
∈
X
{\displaystyle x^{*}\in \mathbb {X} \,}
Devemos mostrar que
x
∗
{\displaystyle x^{*}\,}
x
n
+
1
=
f
(
x
n
)
{\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n})\,}
Passando ao limite , usando a continuidade de
f
{\displaystyle f}
x
∗
=
f
(
x
∗
)
{\displaystyle x^{*}=f(x^{*})\,}
E o resultado segue.
