Teoria de conjuntos de Zermelo

Em matemática, a Teoria de conjuntos de Zermelo, abreviada Z, é a apresentação axiomática da Teoria de conjuntos publicada pela primeira vez por Ernst Zermelo em 1908 no seu artigo Pesquisas sobre os fundamentos da teoria de conjuntos. I e que formou a base da Teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ZF, a teoria axiomática de conjuntos mais utilizada hoje, que resulta de acrescentar à Teoria de Zermelo os axiomas de substituição e fundação.

Axiomas da teoria de Zermelo

Axioma de extensão

Ver artigo principal: Axioma da extensão

Dois conjuntos são iguais (são o mesmo conjunto) se eles têm os mesmos elementos. Na linguagem da lógica atual:

$\forall x\forall y[\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y].$

Axioma do conjunto vazio

Ver artigo principal: Axioma do conjunto vazio

Existe um conjunto, o conjunto vazio ∅, que não contém nenhum elemento:

$\exists x\forall y\;(y\not \in x)$

Axioma do conjunto unitário e do par

Ver artigo principal: Axioma do par

Para cada conjunto $x$ existe o conjunto unitário $\{x\}$. Para cada conjunto $x$ e para cada conjunto $y$ existe o par (não ordenado) $\{x,y\}$.

$\forall x\exists z(z=\{x\})$

$\forall x\forall y\exists z(z=\{x,y\})$

Na sua publicação de 1908, Zermelo enuncia o Axioma II com o nome "Axioma dos conjuntos elementares". Esse axioma tem três partes, que correspondem ao conjunto vazio, conjunto unitário e conjunto de pares. Se interpretamos "dois objetos" do enunciado original de Zermelo do axioma de pares, como dois objetos diferentes, ficaria:

$\forall x\forall y\left(x\neq y\Rightarrow \exists z\left(z=\{x,y\}\right)\right)$

Apesar desse último não ser logicamente equivalente (em primeira ordem) à forma usual anterior, os outros axiomas permitem afirmar a existência de $\{x\}$ e de $\{y\}$ usando $\{x,y\}$.

Axioma da separação

Ver artigo principal: Axioma da separação

Se a propriedade $P(z)$ está definida para todos os elementos de um conjunto $x$, então existe um subconjunto $y$ de $x$ que contém os elementos de $x$ que satisfazem a propriedade $P$. Em termos atuais, dada uma fórmula $\phi (s_{0},\dots ,s_{n},z)$ de primeira ordem da linguagem de ZF com a variável livre $z$ e os parâmetros $s_{0},\dots ,s_{n}$:

$\forall x\exists y\forall z\;(z\in y\Leftrightarrow z\in x\wedge \phi (s_{0},\dots ,s_{n},z))$

Axioma do conjunto potência

Ver artigo principal: Axioma da potência

Para todo conjunto $x$ existe um conjunto $y$ que tem como elementos todos os subconjuntos de $x$.

$\forall x\exists y\forall z(z\subseteq x\rightarrow z\in y)$

Um tal $y$ é denominado "conjunto potência de $x$" ou "conjunto das partes de $x$", usualmente denotado:

$y={\mathcal {P}}(x)$

Axioma da união

Ver artigo principal: Axioma da união

Para todo conjunto $x$ existe um conjunto $y$ tal que todo elemento $z$ que pertence a um elemento de $x$ é um elemento de $y$.

$\forall x\,\exists y\,\forall z\,\forall h(h\in x\land z\in h\Rightarrow z\in y)$

Esse $y$ cuja existência é afirmada pelo axioma é denominado "união de $x$":

$y=\bigcup (x)$

Ou "união dos elementos de $x$":

$y=\bigcup _{h\in x}(h)$

Axioma do infinito

Ver artigo principal: Axioma do infinito

Existe um conjunto $y$ que contém o conjunto vazio $\varnothing$, e para cada $x\in y$, o conjunto $\{x\}$ também pertence a $y$. Note que Zermelo usa $\{x\}$ como o sucessor de $x$ na sequência numérica (Zahlenreihe):

$0,\{0\},\{\{0\}\},\{\{\{0\}\}\},\dots$

A definição habitual, que provém de von Neumann, estabelece sucessor de maneira diferente como $x\cup \{x\}$.

O axioma do infinito tal como ele é enunciado por Zermelo, poderia ser interpretado modernamente como:

$\exists y\left((\varnothing \in y)\wedge \forall x(x\in y\Rightarrow \{x\}\in y)\right)$

Axioma da escolha

Ver artigo principal: Axioma da escolha

Se $x$ é um conjunto de conjuntos não vazios e disjuntos dois a dois, então existe um conjunto de escolha $e$ contido na união de $x$, tal que para cada elemento $y$ de $x$, $e$ tem um único elemento em comum com $y$. A ideia intuitiva é que o conjunto $e$ "escolhe" um elemento de cada $y$ em $x$:

$\forall x\left(\forall y_{0},y_{1}\in x(y_{0}\cap y_{1}=\varnothing )\Rightarrow \exists e\forall y\in x\;\exists z\left(e\cap y=\{z\}\right)\right)$

Contribuição de Zermelo

• Axioma de extensão. Foi idealizado por Bolzano, mas como esse trabalho só foi publicado em 1975, possivelmente era desconhecido por Zermelo. Entretanto, Zermelo possivelmente conhecia o trabalho de Dedekind publicado em 1888, que contém um enunciado desse axioma.

• Axioma da separação. É original de Zermelo. Skolem propõe, por volta de 1920, que no lugar da "propriedade definida" que aparece na formulação de Zermelo, seja usada uma fórmula da linguagem (de primeira ordem).

• Axioma do conjunto vazio. Zermelo utiliza a palavra "impróprio" (uneigentliche) para se referir ao conjunto vazio, pois não está claro se se ajusta à definição de Cantor de conjunto. Não usado por Cantor nem por Dedekind, possivelmente seja uma definição original de Zermelo.

• Axiomas do conjunto unitário, do par, da união e da potência. Cantor usa esses procedimentos de maneira não formalizada.

• Axioma do infinito. Cantor não dá uma definição formal dos números naturais, mas assume a existência do conjunto deles. Dessa maneira assume a existência de conjuntos infinitos. Além disso, Cantor afirma:

Que as multiplicidades "enumeráveis" são conjuntos acabados, parece-me um enunciado axiomático seguro.

Na apresentação de Dedekind de 1888 do Princípio de indução matemática, ele concebe o conjunto dos números naturais como contendo e o sucessor de cada elemento desse conjunto. Entretanto, Dedekind define "infinito" de uma maneira diferente, hoje conhecida como infinito de Dedekind.

• Axioma da escolha. Introduzido pelo próprio Zermelo em 1904 para demonstrar que todo conjunto pode ser bem ordenado.

Independência e consistência relativa dos axiomas

O Axioma do conjunto vazio pode ser demonstrado a partir dos outros axiomas, basta usar o Axioma de separação com a fórmula $z$≠$z$ que não é satisfeita por nenhum elemento.

Se o Axioma dos pares não pedir explicitamente que $a$≠$b$ para a existência do par $\{a,b\}$, então a existência do conjunto unitário segue-se da existência de $\{a,a\}=\{a\}$. A independência do Axioma de pares (se os outros axiomas são consistentes) foi demonstrada por Boffa, resultado interessante, pois esse axioma não é independente em Zermelo-Frankel.

Fraenkel introduziu o método dos modelos de permutação para demonstrar a independência relativa do Axioma da Escolha.

A independência do Axioma de infinito é demonstrada de maneira similar a ZF, $V_{\omega }$ é um modelo da teoria de Zermelo sem o Axioma de infinito.

Os axiomas de união e partes são independentes, igual que em ZF. Diferentemente de ZF o axioma da união e consistente relativo aos demais axiomas, se eles foram consistentes. Assim, o axioma da união é uma extensão forte em ZF, mas uma extensão fraca na teoria de Zermelo. O Axioma de pares também é consistente relativo.

Bibliografia

• Maurice Boffa (1972). «L'axiome de la paire dans le système de Zermelo». Archive for Mathematical Logic (em francês). 15 (3−4): 97−98 

• Bernard Bolzano (1975). Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre (em alemão). II A 7. Stuttgart: Frommann-Holzboog 

• Richard Dedekind (1932). «Was sind und was sollen die Zahlen?». Gesammelte mathematische Werke (em alemão). III. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn. p. 335−391 

• Carlos Gustavo González (1991). Modelos da Teoria de Conjuntos de Zermelo. Campinas: Dissertação de mestrado 

• Jean van Heijenoort (1967). From Frege to Gödel: a source book in mathematical logic, 1879−1931 (em inglês). Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press 

• Ernst Zermelo (1904). «Beweisß, da jede Menge wohlgeordnet werden kann». Mathematische Annalen (em alemão). 59 (4): 514−516  Reimpresso com tradução ao inglês em Zermelo 2010, pp. 114−119, e tradução ao inglês em van Heijenoort 1967, pp. 139−141.

• Ernst Zermelo (1908). «Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I». Mathematische Annalen (em alemão). 65 (2): 261−281  Reimpresso com tradução ao inglês em Zermelo 2010, pp. 188−229, e tradução ao inglês em van Heijenoort 1967, pp. 199−215.

• Ernst Zermelo (2010). Collected Works — Gesammelte Werke (em alemão e inglês). I. Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-79383-0  !CS1 manut: Língua não reconhecida (link)