Transformada de Abel

Em Matemática, a Transformada de Abel, enunciada por Niels Henrik Abel, é uma transformada integral utilizada em análise de projeções de funções que apresentam simetria esférica ou axial, como, por exemplo, na estimativa da distribuição de massa em galáxias a partir de observações astronômicas, na obtenção da variação de parâmetros atmosféricos com a altitude a partir da ocultação de ondas de rádio pela Terra e na análise da imagem captada por uma câmara de TV que varre uma faixa estreita. Podem-se definir 4 versões diferentes para a transformação, denotadas aqui por ${\mathcal {A}}_{1}$ a ${\mathcal {A}}_{4}$, cada uma delas sendo útil na solução de determinados problemas. Não há consenso na literatura a respeito da numeração a ser atribuída a cada versão.

A transformada de Abel pode ser interpretada geometricamente como a projeção de uma função circularmente simétrica f(r) sobre uma linha situada a uma dada distância do eixo de simetria. O valor de f é ilustrado em tons de cinza.

A versão mais usada da transformada de Abel de uma função f(r) é dada por:

$F(y)=2\int _{y}^{\infty }{\frac {f(r)r\,dr}{\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}.$

Assumindo f(r) indo a zero mais rapidamente que 1/r, a correspondente transformada inversa é dada por:

$f(r)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{r}^{\infty }{\frac {dF}{dy}}\,{\frac {dy}{\sqrt {y^{2}-r^{2}}}}.$

Essa versão é um caso especial da transformada de Radon bidimensional. Ela também pode ser relacionada com a transformada de Hankel e com a transformada de Fourier por meio do teorema da fatia central.

A transformada de Abel também está associada ao tema das transformadas fracionais, tendo sido Abel um dos primeiros a explorar o Cálculo Fracional. As equações integrais (fracionárias) de Riemann-Liouville e de Weyl podem ser resolvidas com ajuda da transformada de Abel, após a conveniente substituição de variáveis. Derivadas fracionárias aparecem frequentemente também na descrição da dinâmica da condução de calor em sólidos e da transmissão de sinais elétricos por cabos metálicos.

Definições

Origem

Abel foi o pioneiro no estudo das equações integrais, ao trabalhar, entre 1802 e 1809, com a chamada equação integral de Abel

$g(x)\;=\;\int _{0}^{x}{\frac {f(y)}{(x\;-\;y)^{\alpha }}}\;dy\qquad |x\;>\;0,\;0\;<\;\alpha \;<\;1\qquad (1a)$

com g(x) dada e f(x) incógnita. Essa é uma equação integral de Volterra do primeiro tipo; com α = ½, tem relevância na solução do problema da curva tautocrônica, o que foi o fato motivador da pesquisa original. Demonstra-se facilmente que

$\int _{0}^{x}{\frac {f(y)}{(x\;-\;y)^{\alpha }}}\;dy\;=\;f(x)\;*\;{\frac {1}{x^{\alpha }}}\qquad (1b)$

onde * denota a operação de convolução. A equação de convolução resultante

$g(x)\;=\;f(x)\;*\;{\frac {1}{x^{\alpha }}}\qquad (1c)$

pode ser resolvida por meio da transformada de Laplace, resultando em

$g(x)\;=\;{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\left[{\frac {g(0+)}{x^{1-\alpha }}}\;+\;\int _{0}^{x}{\frac {{\frac {d}{dy}}\;g(y)}{(x\;-\;y)^{1-\alpha }}}\;dy\right]\qquad (1d)$

onde g(0+) é uma forma concisa de escrever o limite

$\lim _{x\to 0}\left[\int _{0}^{x}{\frac {f(y)}{(x\;-\;y)^{\alpha }}}\;dy\right]\qquad (1e)$

De forma mais genérica, outras equações integrais em que o integrando é ou pode ser levado, por meio de uma substituição de variáveis, à forma ${\frac {f(x)}{h(x-y)}}$ são resolvidas pela mesma técnica. Por exemplo, a solução da equação mais geral

$g(x)\;=\;\int _{0}^{x}f(y)\cdot h(x\;-\;y)\;dy\qquad |h(u)\;=\;0\;/\;u\;<\;0\qquad (1f)$

é dada por

$g(x)\;=\;{\frac {d}{dy}}\left[\int _{0}^{x}g(y)\cdot h(x\;-\;y)\;dy\right]\;=\;g(0+)\cdot h(x)\;+\;\int _{0}^{x}\left[{\frac {d}{dy}}g(y)\right]\cdot h(x\;-\;y)\;dy\qquad (1g)$

e uma equação na forma

$g(x)\;=\;\int _{0}^{x}\phi (y)\cdot h(x^{2}\;-\;y^{2})\;dy\qquad (1h)$

com as substituições u = x² e v = y², se transforma na equação

$g(x)\;=\;{\frac {1}{2}}\int _{0}^{u}{\sqrt {v}}\cdot \phi ({\sqrt {v}})\cdot h(u\;-\;v)\;dv\qquad (1i)$

que tem a forma da equação (1f), com $f(v)\;=\;{\frac {1}{2}}{\sqrt {v}}\cdot \phi ({\sqrt {v}})$, e a solução, portanto, é dada por (1g).

Transformadas diretas e inversas

As 4 versões da transformada de Abel são as seguintes:

${\mathcal {A}}_{1}\{f(x)\}\;=\;A_{1}(y)\;=\;2\int _{y}^{\infty }{\frac {x\cdot f(x)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dx\qquad |\;y\;>\;0\qquad (2a)$

${\mathcal {A}}_{2}\{f(x)\}\;=\;A_{2}(y)\;=\;\int _{y}^{\infty }{\frac {f(x)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dx\qquad |\;y\;>\;0\qquad (2b)$

${\mathcal {A}}_{3}\{f(x)\}\;=\;A_{3}(y)\;=\;\int _{0}^{y}{\frac {f(x)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dx\qquad |\;y\;>\;0\qquad (2c)$

${\mathcal {A}}_{4}\{f(x)\}\;=\;A_{4}(y)\;=\;2\int _{0}^{y}{\frac {x\cdot f(x)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dx\qquad |\;y\;>\;0\qquad (2d)$.

A solução das equações integrais (2a) a (2d), sob a condição geral

$\lim _{y\to \infty }A_{k}(y)\;=\;0\qquad (4a)$

é dada pela respectiva transformada inversa de Abel:

$f(x)\;=\;{\mathcal {A}}_{1}^{-1}\{A_{1}(y)\}\;=\;-{\frac {1}{\pi x}}\left[{\frac {d}{dx}}\int _{x}^{\infty }{\frac {y\cdot A_{1}(y)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dy\right]\;=\;-{\frac {1}{\pi }}\int _{x}^{\infty }{\frac {{\frac {d}{dy}}\;A_{1}(y)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dy\qquad (3a)$

$f(x)\;=\;{\mathcal {A}}_{2}^{-1}\{A_{2}(y)\}\;=\;-{\frac {2}{\pi }}\left[{\frac {d}{dx}}\int _{x}^{\infty }{\frac {y\cdot A_{2}(y)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dy\right]\;=\;-{\frac {2x}{\pi }}\int _{x}^{\infty }{\frac {{\frac {d}{dy}}\;A_{2}(y)}{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}\;dy\qquad (3b)$

$f(x)\;=\;{\mathcal {A}}_{3}^{-1}\{A_{3}(y)\}\;=\;{\frac {2}{\pi }}\left[{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {y\cdot A_{3}(y)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dy\right]\;=\;{\frac {2\cdot A_{3}(0)}{\pi }}\;+\;{\frac {2x}{\pi }}\int _{0}^{x}{\frac {{\frac {d}{dy}}\;A_{3}(y)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dy\qquad (3c)$

$f(x)\;=\;{\mathcal {A}}_{4}^{-1}\{A_{4}(y)\}\;=\;{\frac {1}{\pi x}}\left[{\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}{\frac {y\cdot A_{4}(y)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dy\right]\;=\;{\frac {A_{4}(0)}{\pi x}}\;+\;{\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{x}{\frac {{\frac {d}{dy}}\;A_{4}(y)}{\sqrt {x^{2}\;-\;y^{2}}}}\;dy\qquad (3d)$

A transformada ${\mathcal {A}}_{1}$, por ser um caso especial (o caso que apresenta simetria circular) da transformada de Radon bidimensional, pode ainda ser invertida pela fórmula

$f(x)\;=\;{\mathcal {A}}_{1}^{-1}\{A_{1}(y)\}\;=\;-{\frac {1}{\pi }}\left[{\frac {d}{dx}}\int _{x}^{\infty }{\frac {x\cdot A_{1}(y)}{y{\sqrt {y^{2}\;-\;x^{2}}}}}\;dy\right]\qquad (3e)$

O núcleo de Abel

A equação (2a) também pode ser escrita na forma

${\mathcal {A}}_{1}\{f(x)\}\;=\;A_{1}(y)\;=\;2\int _{0}^{\infty }f(x)\cdot k(x,y)\;dx\qquad k(x)\;=\;\left\{{\begin{matrix}0&:&x\;<\;y\\\\{\frac {2x}{x^{2}\;-\;y^{2}}}&:&x\;\geq \;y\end{matrix}}\right.\qquad (2e)$

que é a forma de uma transformada integral genérica. A função k(x) é chamada o núcleo de Abel.

Propriedades

Relação geral entre as transformadas

As diferentes versões da transformada de Abel mantêm entre si as seguintes igualdades:

${\begin{matrix}{\mathcal {A}}_{1}\{f(x)\}\;=\;2{\mathcal {A}}_{2}\{x\cdot f(x)\}&\qquad &{\mathcal {A}}_{4}\{f(x)\}\;=\;2{\mathcal {A}}_{3}\{x\cdot f(x)\}\\\\{\mathcal {A}}_{1}\left\{{\frac {f(x)}{x}}\right\}\;=\;2{\mathcal {A}}_{2}\{f(x)\}&\qquad &{\mathcal {A}}_{4}\left\{{\frac {f(x)}{x}}\right\}\;=\;2{\mathcal {A}}_{3}\{f(x)\}\\\\f(x)\;=\;{\frac {2}{\pi }}{\frac {d}{dy}}{\mathcal {A}}_{1}\{y\cdot A_{1}(y)\}&\qquad &f(x)\;=\;-{\frac {2}{\pi }}{\frac {d}{dy}}{\mathcal {A}}_{2}\{y\cdot A_{2}(y)\}\end{matrix}}\qquad (4b)$

O núcleo modificado de Abel

A função núcleo modificado de Abel K(y) dada por

$K(y)\;=\;\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {-y}}}&:&y\;<\;0\\\\0&:&y\;\geq \;0\end{matrix}}\right.\qquad (4c)$

possui a seguinte propriedade

$K(y)\;*\;\left(K(y)\;*\;\left[{\frac {d}{dy}}A_{3}(y)\right]\right)\;=\;-\pi A_{3}(y)\qquad (4d)$

(4d) pode ser reescrita em forma de operadores como

$\mathbf {K} \;*\;\mathbf {K} \;*\;\mathbf {\partial } \;=\;-\pi \cdot {\mathcal {A}}_{3}\qquad (4e)$

Ou seja, duas convoluções com a função núcleo modificado equivalem à inversa da diferenciação, isto é, a uma integração. Por isso, diz-se que uma convolução equivale a "meia integração". Essa propriedade leva diretamente aos conceitos de derivada fracional e de integral fracional.

Primeiro momento

$\int _{^{-}\infty }^{\infty }A_{3}(y)\;dy\;=\;2\pi \int _{0}^{\infty }x\cdot f(x)\;dx\qquad (4f)$

Valor inicial

$A_{3}(0)\;=\;2\int _{0}^{\infty }f(x)\;dx\qquad (4g)$

Relação com as transformadas de Radon, de Hankel e de Fourier

Se uma função bidimensional f(x,y) possui simetria circular, podemos escrever f(x,y) = f(r). A transformada de Radon de f(r) será uma função apenas de ρ, e podemos fazer θ = 0 na fórmula de definição

${\mathcal {R}}\{f(x,y)\}\;=\;\phi (\rho ,\theta )\;=\;\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\cdot \delta \left(\rho \;-\;x\cos(\theta )\;-\;y\sin(\theta )\right)\;dx\;dy$

onde ${\mathcal {R}}\{f(x,y)\}$ é a transformada de Radon bidimensional de f(x,y), de forma a obter

$\phi (\rho )\;=\;2\int _{\rho }^{\infty }{\frac {u\cdot f(u)}{\sqrt {u^{2}\;-\;\rho ^{2}}}}\;du\qquad |\;\rho \;>\;0$

que é a definição da transformada de Abel ${\mathcal {A}}_{3}$.

Como ${\mathcal {A}}_{3}$ é um caso especial de ${\mathcal {R}}$, vale o teorema da fatia central e podemos escrever, em forma de operadores

${\mathcal {F}}_{1}{\mathcal {A}}_{3}\;=\;{\mathcal {F}}_{2}\qquad (4h)$

onde ${\mathcal {F}}_{n}$ denota a transformada de Fourier de dimensão n. Essa propriedade é importante porque permite obter transformadas de Abel a partir de tabelas de transformadas de Fourier.

Finalmente, como a transformada de Hankel de ordem 0 ${\mathcal {K}}_{0}$ é idêntica à transformada bidimensional de Fourier para a situação considerada, de simetria circular, e como a transformada de Hankel é sua própria inversa, podemos também escrever

${\mathcal {F}}_{1}{\mathcal {A}}_{3}\;=\;{\mathcal {K}}_{0}\qquad \implies {\mathcal {A}}_{3}^{-1}\;=\;{\mathcal {K}}_{0}{\mathcal {F}}_{1}\qquad (4i)$.

A expressão (4i) é conhecida como o anel (ou o ciclo) de transformadas Abel-Fourier-Hankel (ing. Abel-Fourier-Hankel ring of transforms). Cumpre recordar que a função original f precisa apresentar simetria circular para que a transformação de Abel seja aplicada.

Aplicações

Solução de equações integrais fracionárias

A equação integral de Riemann-Liouville

$g(x)\;=\;{\frac {1}{\Gamma (\mu )}}\int _{0}^{x}{\frac {f(y)}{(x\;-\;y)^{\mu \;-\;1}}}dy\qquad (5a)$

onde Γ(x) é a função gama, é resolvida com ajuda da transformada de Abel ${\mathcal {A}}_{4}$ após a substituição de variáveis x = u² e y = v², e fazendo α = ½. Com isso, (5a) se transforma em

${\sqrt {\pi }}\cdot \left.g(u^{2})\right|_{\mu ={\frac {1}{2}}}\;=\;2\int _{0}^{u}{\frac {vf(v^{2})}{(u^{2}\;-\;v^{2})^{\frac {1}{2}}}}\;dv\qquad (5b)$

A equação integral de Weyl

$g(x)\;=\;{\frac {1}{\Gamma (\mu )}}\int _{x}^{\infty }{\frac {f(y)}{(y\;-\;x)^{\mu \;-\;1}}}dy\qquad (5c)$

mediante a mesma substituição de variáveis, se transforma em

${\sqrt {\pi }}\cdot \left.g(u^{2})\right|_{\mu ={\frac {1}{2}}}\;=\;2\int _{u}^{\infty }{\frac {vf(v^{2})}{(v^{2}\;-\;u^{2})^{\frac {1}{2}}}}\;dv\qquad (5d)$

Tabelas de transformadas de Abel

Tabela 1 - Transformadas de Abel do tipo 1 de algumas funções f(x)

$f(x)$	$A_{1}(y)$
$\delta (x\;-\;a)$	$2a\;{\frac {\chi \left({\frac {y}{a}}\right)}{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}}$
${\frac {\chi \left({\frac {x}{a}}\right)}{\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}$	$\pi \cdot \chi \left({\frac {y}{a}}\right)$
$\chi \left({\frac {x}{a}}\right)$	$2\;{\frac {\chi \left({\frac {y}{a}}\right)}{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}}$
$\chi \left({\frac {x}{a}}\right)\cdot {\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}$	${\frac {\pi }{2}}\;\chi \left({\frac {y}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;y^{2})$
$\chi \left({\frac {x}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;x^{2})$	${\frac {4}{3}}\;\chi \left({\frac {y}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;y^{2})^{\frac {3}{2}}$
$\chi \left({\frac {x}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;x^{2})^{\frac {3}{2}}$	${\frac {3\pi }{8}}\;\chi \left({\frac {y}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;y^{2})^{2}$
$\chi \left({\frac {x}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;x^{2})^{\frac {n-1}{2}}$	$C_{n}\;\chi \left({\frac {y}{a}}\right)\cdot (a^{2}\;-\;y^{2})^{\frac {n}{2}}$
${\frac {1}{a^{2}\;+\;x^{2}}}$	${\frac {\pi }{\sqrt {a^{2}\;+\;y^{2}}}}$
$e^{-x^{2}}$	${\sqrt {\pi }}\cdot e^{-y^{2}}$
$x^{2}e^{-x^{2}}$	$\left(y^{2}\;+\;{\frac {1}{2}}\right){\sqrt {\pi }}\cdot e^{-y^{2}}$
$sinc(2ax)$	${\frac {1}{2a}}\cdot J_{0}\cdot sinc(2a\pi y)$
$\cos(ax)$	$-\pi \cdot y\cdot J_{1}(ay)$
$J_{0}(ax)$	${\frac {2}{a}}\cos(ay)$
${\frac {1}{x}}J_{1}(ax)$	${\frac {2}{ay}}\sin(ay)$
${\frac {1}{x}}J_{2n}(2ax)$	$-\pi \cdot J_{n}(ay)\cdot Y_{n}(ay)$
${\frac {1}{x}}Y_{2n}(2ax)$	${\frac {\pi }{2}}\left[J_{n}^{2}(ay)\;-\;Y_{n}^{2}(ay)\right]$

Tabela 2 - Transformadas de Abel do tipo 2 de algumas funções f(x)

$f(x)$	$A_{2}(y)$
${\frac {\chi \left({\frac {x}{a}}\right)}{\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}$	${\frac {1}{a}}\cdot F\left({\frac {\pi }{2}},{\sqrt {1\;-\;{\frac {y}{a}}}}\right)\qquad |\;y\;<\;a$
$\chi \left({\frac {x}{a}}\right)$	$\ln \left({\frac {a\;+\;{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}}{y}}\right)\qquad |\;y\;<\;a$
$\delta (x\;-\;a)$	${\frac {1}{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}}\qquad |\;y\;<\;a$
$\chi \left({\frac {x}{a}}\right)\cdot {\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}$	$a\cdot \left[F\left({\frac {\pi }{2}},{\sqrt {1\;-\;{\frac {y}{a}}}}\right)\;-\;E\left({\frac {\pi }{2}},{\sqrt {1\;-\;{\frac {y}{a}}}}\right)\right]\qquad |\;y\;<\;a$
${\frac {x^{2}\cdot \chi \left({\frac {x}{a}}\right)}{\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}$	$a\cdot E\left({\frac {\pi }{2}},{\sqrt {1\;-\;{\frac {y}{a}}}}\right)\qquad |\;y\;<\;a$
$(a\;-\;x)\cdot \chi \left({\frac {x}{a}}\right)$	$\ln \left({\frac {a\;+\;{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}}{y}}\right)\;-\;{\sqrt {a^{2}\;-\;y^{2}}}\qquad |\;y\;<\;a$
$\sin(ax)$	${\frac {\pi }{2}}\;J_{0}(ay)$
$x\cdot \cos(ax)$	$-{\frac {\pi }{2}}\cdot y\cdot J_{1}(ay)$
$x\cdot J_{0}(ax)$	${\frac {1}{a}}\;\cos(ay)$

Tabela 3 - Transformadas de Abel do tipo 3 de algumas funções f(x)

$f(x)$	$A_{3}(y)$
${\frac {1}{\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}$	${\frac {1}{a}}\;F\left({\frac {\pi }{2}},{\frac {y}{a}}\right)\qquad |\;y\;<\;a$
$\chi \left({\frac {x}{a}}\right)$	$\arcsin \left({\frac {a}{y}}\right)\qquad |\;y\;>\;a$
$\delta (x\;-\;a)$	${\sqrt {y^{2}\;-\;a^{2}}}\qquad |\;y\;>\;a$
${\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}$	$a\;E\left({\frac {\pi }{2}},{\frac {y}{a}}\right)\qquad |\;y\;<\;a$
${\frac {x^{2}}{\sqrt {a^{2}\;-\;x^{2}}}}$	$a\cdot \left[F\left({\frac {\pi }{2}},{\frac {y}{a}}\right)\;-\;E\left({\frac {\pi }{2}},{\frac {y}{a}}\right)\right]\qquad |\;y\;<\;a$
$(a\;-\;x)$	${\frac {a\pi }{2}}\;-\;y\qquad |\;y\;<\;a$
$\cos(ax)$	${\frac {\pi }{2}}\;J_{0}(ay)$
$x\cdot \sin(ax)$	${\frac {\pi }{2}}\cdot y\cdot J_{1}(ay)$
$x\cdot J_{0}(ax)$	${\frac {1}{a}}\;\sin(ay)$
$J_{2n}(ax)$	${\frac {\pi }{2}}\cdot \left[J_{n}\left({\frac {ay}{2}}\right)\right]^{2}$
$x^{n+1}\cdot J_{n}(ax)$	${\sqrt {\frac {\pi }{2a}}}\;y^{n+{\frac {1}{2}}}\cdot J_{n+{\frac {1}{2}}}(ay)$
onde: $\chi (x)\,$ é a função indicadora para o círculo de raio unitário $\delta (x)\,$ é a função impulso unitário $sinc(x)\,$ é a função seno cardinal $J_{n}(x)\,$ é a função de Bessel de primeira espécie de ordem n $Y_{n}(x)\,$ é a função de Bessel de segunda espécie de ordem n $F(x)\,$ é a integral elíptica de primeira espécie $E(x)\,$ é a integral elíptica de segunda espécie $C_{n}\,$ é o valor da integral $2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}(x)\;dx$ $a\in {\mathcal {R}}\;|\;a\;>\;0$ $n\in {\mathcal {N}}$

Ver também

• Teorema da convolução
• Lista de transformadas relacionadas à transformada de Fourier