Evolvente

Na geometria diferencial de curvas, uma evolvente é uma curva obtida de outra dada curva anexando a esta um cordão tenso imaginário e traçando um ponto da corda ao enrolá-la na curva; ou, ao contrário, ao desenrolá-la. É uma rolete na qual a curva rolante é uma linha reta contendo o ponto gerador. Por exemplo, uma evolvente é aproximadamente o caminho seguido por um espirobol quando a corda de ligação é enrolada no poste. Se o poste tem seção transversal circular, então a curva descrita pela bola é uma evolvente do círculo.

Alternativamente, outra forma de construir a evolvente de uma curva é substituir a corda esticada por um segmento de reta que é tangente à curva em uma extremidade, enquanto a outra extremidade traça a evolvente. O comprimento do segmento de reta é alterado pelo mesmo comprimento de arco que é percorrido sobre a curva quando o ponto tangente move-se ao longo da curva.

A evoluta de uma evolvente é a curva original, subtraidas as porções de curvatura zero ou indefinida. Ver as ilustrações evoluta e evolvente.

Se a função é uma parametrização natural da curva (i.e. para todo s), então : parametriza a evolvente.

Curva paramétricaEditar

As equações de uma curva evolvente para uma função parametricamente definida ( x(t) , y(t) ) são:

 

 

ExemplosEditar

 
A evolvente de um círculo
(reversa, desenrolando)
 
A evolvente de uma catenária, uma tractriz

Evolvente de um círculoEditar

A evolvente de um círculo tem uma forma semelhante a uma espiral de Arquimedes.

 
 

onde   é o raio do círculo e   é um parâmetro

  • Em coordenadas polares   a evolvente de um círculo tem as equações param[etricas
 
 

onde   é o raio do círculo e   é um parâmetro.

A evolvente de um círculo pode ser dada na forma

 
 .

Leonhard Euler propos o uso da evolvente de um círculo para a forma dos dentes de uma engrenagem, a forma que é atualmente usada na maioria delas, denominadas engrenagens evolventes.

Evolvente de uma catenáriaEditar

A evolvente de uma catenária pelo seu vértice é uma tractriz. Em coordenadas cartesianas a evolvente é dada por

 

 

onde t é um parâmetro e sech é a secante hiperbólica (1/cosh(x)).

Derivada

Com  

temos  

e  .

Substituindo  

resulta  .

Evolvente de uma cicloideEditar

Uma evolvente de uma cicloide é uma cicloide congruente. Em coordenadas cartesianas a curva é dada por

 
 

onde t é o ângulo e r o raio.

AplicaçãoEditar

A evolvente possui algumas propriedades que a tornam fundamental para a indústria de engrenagens: se duas engrenagens engatadas possuem dentes com perfil evolvente, elas formam um sistema de engrenagens evolventes. Suas taxas de rotação relativas são constantes enquanto os dentes estão engrenados, e o contato ocorre sempre ao longo de um segmento de reta, denominado linha de ação. Com dentes de outras formas as velocidades de rotação e as forças transmitidas são intermitentes, ocasionando portanto vibrações, ruídos e desgaste excessivo. Por esta razão quase a totaalidade das engrenagens atualmente produzidas possuem dentes com a forma evolvente.

A evolvente de um círculo é também uma forma fundamental em compressores, pois um compressor espiral pode ser construído baseado nesta forma. Compressores espirais fazem menos barulho que compressores convencionais, sendo também mais eficientes.

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar