Exponencial matricial
Em matemática, a exponencial matricial é uma função matricial definida no conjunto das matrizes quadradas e possui propriedades semelhantes à função exponencial definida nos números reais (ou complexos). Mais abstratamente falando a exponencial matricial estabelece uma conexão entre a álgebra de Lie das matrizes e o seu correspondente grupo de Lie.
Seja uma matriz real ou complexa , define-se pela seguinte série de potências:
- , onde é a matriz identidade
A convergência desta série é garantida pelo teste M de Weierstrass.
Origens
editarGeneralizando a série de Taylor para matrizes:
para uma matriz, , sendo "a" como matriz nula, temos: .
como o primiero termo da equação é e sendo essa a matriz identidade, ficamos finalmente com:
.
Propriedades
editarSejam e matrizes quadradas e e números reais ou complexos arbitrários. Denotamos por a matriz identidade e por a matriz nula de mesmas dimensões. indica a matriz transposta conjugada de e denota a matriz transposta de . São válidas as seguintes propriedades:
- Se então
- Se é uma matriz invertível então
- , onde é o determinante de e é o traço de
- . Disto segue que se é uma matriz simétrica também o é. Se é uma matriz antissimétrica é uma matriz ortogonal.
- . Disto segue que se é uma matriz hermitiana também o é. Se é uma matriz anti-hermitiana é uma matriz unitária.
Exemplo no cálculo da exponencial de uma matriz
editarImaginemos que queremos calcular sabendo que
Calculemos
Sabemos então que
Equações diferenciais ordinárias lineares
editarUm problema de valor inicial para um sistema de equações diferencias ordinárias lineares homogêneas com coeficientes constantes pode ser escrito na forma matricial:
onde a incógnita é um vetor de dimensão que depende do tempo, é a condição inicial e é uma matriz . A solução deste sistema é dada por:
A matriz definida como pode ser interpretada como operador que associa cada condição inicial à solução do sistema de equações no instante .
A exponencial matricial também pode ser usada para resolver o problema não-homogêcio associado
pelo Método da variação de parâmetros, ou seja, busca-se por soluções da forma:
Substituindo esta expressão na equação diferencial, temos:
ou, resolvendo para :
trocando por e integrando em , temos:
e, finalmente: