Filtro Chebyshev

Os filtros Chebyshev são filtros analógicos ou digitais que possuem um aumento na atenuação (roll-off) e uma maior ondulação (ripple) na banda passante que os Filtros Butterworth. Os filtros Chebyshev possuem a propriedade de minimizarem o erro entre as características do filtro idealizado e o atual com relação à faixa do filtro, porém com ripples na banda passante. Este tipo de filtro recebeu seu nome em honra a Pafnuty Chebyshev, devido a suas características matemáticas serem derivadas dos polinômios de Chebyshev.

A resposta em frequência de um filtro Chebyshev passa-baixas do tipo I de quarta ordem

DescriçãoEditar

Filtros Chebyshev do Tipo IEditar

Estes são o tipo mais comum dos filtros Chebyshev. A sua característica da amplitude em frequência de ordem   pode ser descrita matematicamente como:

 

em que   e   é a amplificação na frequência de corte   (nota: a definição comum na frequência de corte como a frequência com um ganho de −3 dB não se aplica aos filtros Chebyshev), e   é um polinomial de Chebyshev da  ésima ordem, como por exemplo:

 
 

alternativamente:

 
 

A ordem de um filtro Chebyshev é igual ao número de componentes reativos (como os indutores) necessários para a montagem do filtro utilizando eletrônica analógica.

O ripple é comumente dado em dB:

Ripple em dB =  

Um ripple de 3 dB dessa forma equivale ao valor  .

Um roll-off ainda mais íngreme pode ser obtido caso nos permitamos ripple na banda passante, permitindo que o zeros no eixo   no plano complexo. Isto ira entretanto resulta em uma menor supressão na banda atenuada. O resultado deste processo é o filtro elíptico, também conhecido como filtro Cauer.

Filtros Chebyshev do Tipo IIEditar

Também conhecidos como Chebyshev invertidos, este tipo é menos comum pois ele não apresenta um roll off tão acentuado quanto o tipo I, e requer uma maior quantidade de componentes. Ele não possui ripple em sua banda passante, porém possui ripple na sua banda atenuada. Sua função de transferência é:

 

O parâmetros ε é relacionado à atenuação da banda rejeitada γ em decibeis por

 

Para uma atenuação de banda rejeitada de 5dB, ε = 0.6801; para uma atenuação de 10dB, ε = 0.3333. A frequência fC = ωC/2 π é a frequência de corte. A frequência de 3dB fH é relacionada a fC da seguinte forma:

 

Comparação com outros filtros linearesEditar

Aqui temos uma imagem mostrando a resposta em frequência de filtros Chebyshev junto com a resposta de outros tipos comum de filtro obtidos com os mesmos números de coeficientes:

notamos nesta imagem que os filtros Chebyshev possuem uma queda mais acentuada do que o filtro Butterworth, porém menos acentuada do que o filtro elíptico, porém eles apresentam menos ondulações em sua largura de banda.

Ver tambémEditar