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No campo da matemática, a forma canónica refere-se de forma geral à forma normal e clássica de representar uma dada relação.

Dizemos que uma equação diferencial parcial está na forma canônica quando ela está escrita na sua forma mais simples, ou seja, sem os termos de derivadas mistas. A ideia básica está em classificar e equação diferencial parcial quanto ao tipo, determinar as equações características e pelo processo de integração encontrar as curvas características, onde as constantes serão as coordenadas características. Utilizando a regra da cadeia para derivadas parciais determinamos as derivadas para as novas variáveis e fazendo a substituição na equação original chega-se, assim a forma canônica.


Forma Canônica para Equações Diferenciais ParciaisEditar

Suponhamos que as funções   não são nulas. Então podemos escolher novas variáveis   de modo que os coeficiente   sejam nulos. Para isso devemos ter

 

 

Notamos que as duas equações tem a mesma forma. Então, discutiremos a equação

 

onde   representa ora,   ora  . Podemos ainda escrever a equação anterior na seguinte forma

 

Ao longo de uma curva   no plano   temos

 

de onde obtemos

 

com a qual nossa equação para   toma a forma

 

As raízes desta equação de segundo grau são

 

 

onde  

As duas equações de primeira ordem são chamadas equações características e as respectivas integrais são chamadas curvas características. Visto que tais equações são de primeira ordem elas admitem uma constante de integração cada uma. Devemos notar ainda que se os coeficientes   são constantes as equações características levam a duas famílias de retas, e a equação é do mesmo tipo em todos os pontos de seu domínio, uma vez que   também será constante.

Equação do tipo hiperbólicoEditar

Se   temos duas famílias distintas de curvas características e a equação diferencial original se reduz a

 

onde   Esta é a chamada primeira forma canônica da equação hiperbólica. Ao introduzirmos um segundo par de variáveis independentes

 

obtemos a segunda forma canônica

 

ExemploEditar

Reduza a forma canônica seguinte EDP

 .

Solução

(i) classificação: identificando os coeficientes   e calculando   temos:  

Equação do tipo parabólicoEditar

Se o discriminante   as equações características são idênticas. Neste caso só existe uma família de curvas características, de onde obtemos somente uma curva integral  . Logo a forma canônica para a equação do tipo parabólico e dada por.

    

Ou

   

Equação do tipo elípticoEditar

Neste caso   e as curvas características não são reais. Entretanto, se os coeficientes   são funções analíticas podemos considerar a equação

 

para os complexos  . Desde que   são complexos conjugados, podemos introduzir as variáveis reais

 

Depois de todas as transformações obtemos:

 

que é chamada forma canônica da equação elíptica.

ExemplosEditar

Referências

  • Álgebra linear como introdução a matemática aplicada - Luis T. Magalhães
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