Função afim

função polinomial de grau no máximo um
Disambig grey.svg Nota: Não confundir com Função linear, ou Transformação linear.

Uma função afim, também conhecida como função polinomial de grau 1 ou função polinomial de primeiro grau é uma função do tipo cujo gráfico é uma reta não perpendicular ao eixo Tal função também pode ser entendida como uma transformação linear () seguida por uma translação ().

Esquema explicativo de uma função afim.
Exemplo de uma função afim.

no caso finito-dimensional cada função afim é dada por uma matriz A e por um vetor B, que possam ser escritos como a matriz A com uma coluna extra do B. Fisicamente, uma função afim é a que preserva:

  1. Colinearidade entre pontos, isto é, três pontos que se encontram em uma linha continuam a ser colineares após a transformação;
  2. relações das distâncias ao longo de uma linha, isto é, para os pontos colineares distintos ,

Uma função afim é composta de um ou de diversos transformadores lineares. Diversas transformações lineares podem ser combinadas em uma única matriz, assim que a fórmula geral dada acima é ainda aplicável.

Em uma dimensão (ou seja, quando x e y são escalares), os termos A e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e coeficiente linear.

 Definição formalEditar

Uma função   chama-se função afim quando existe dois números reais   e   tal que   e   para todo   [1][2]

Coeficientes[3]Editar

Para facilitar a análise dessas funções, dizemos que o coeficiente "a" da função é o coeficiente angular ou declividade da reta. Esse coeficiente determina a tangente do ângulo da inclinação da reta que representa a função, no sentido anti-horário em relação do eixo das abcissas.

O coeficiente "b" determina o deslocamento da reta em relação à origem, por isso ele é conhecido como coeficiente linear da reta.

 
Esboço do gráfico da função f(x)=2x, um exemplo de função linear

Função linearEditar

 Ver artigo principal: Função linear

Uma função linear é um caso particular da função afim onde   e   sendo, portanto, expressa como:

 

Veja na figura ao lado um exemplo de gráfico de função linear.

Um caso específico da função linear é a função identidade, onde   Logo a função identidade é expressa como:

 

Observe na figura ao lado um exemplo de gráfico de função identidade.

Função linear e proporcionalidadeEditar

 Ver artigo principal: Proporcionalidade
 
Esboço do gráfico da função f(x)=x, a função identidade

Uma das principais aplicações da função linear é a relação de proporção existente entre os elementos do domínio e da imagem, pois observamos que conforme variam os elementos do domínio, suas respectivas imagens variam na mesma proporção, sendo essa proporção o coeficiente angular da função, nesse caso chamado de taxa de variação.

Assim, seja a função linear   vemos que o conjunto dos pontos que representa a reta dessa função são os pontos do tipo   onde   é a razão entre   e   [4]

Essa relação será diretamente proporcional se a função for crescente e inversamente proporcional se a função for decrescente.

Crescimento ou decrescimentoEditar

Uma função afim pode ser crescente, decrescente, dependendo do valor do coeficiente angular. Uma função pode ainda ser constante, se a=0 e aí ela terá grau 0.

CrescenteEditar

Uma função afim é crescente quando seu coeficiente angular for positivo, ou seja,  

 
Esboço do gráfico da função f(x)=2x+1, um exemplo de função afim crescente

Demonstração: [5]

Por definição, dizemos que uma função   definida por   é crescente no conjunto   se, para dois valores quaisquer   e   pertencentes a   com   tivermos  

Sintetizando:   é crescente quanto:

 

Podemos reescrever isso como:

 

Então, dada a função afim   dizemos que   é crescente se, e somente se:

 

Assim, podemos reescrever:

 

DecrescenteEditar

 
Esboço do gráfico da função afim f(x)=-2x+1, um exemplo de função afim decrescente.

Uma função afim é decrescente quando seu coeficiente angular for negativo,ou seja,  

Demonstração:[5]

De forma similar à função crescente, uma função é decrescente se obedecer à seguinte restrição:

 

Que é equivalente a dizer:

 

Então, dada a função afim   dizemos que   é decrescente quando:

 

Reescrevendo isso, temos:

 

ConstanteEditar

Uma função é constante (neste caso dizemos que ela não é afim) quando seu coeficiente angular for nulo, ou seja   Nesse caso a equação que define a função é dada por   e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo  

 
Esboço do gráfico da função f(x)=2, um exemplo de função constante

ZeroEditar

O zero de uma função afim (ou raízes da função) é o valor de   para o qual a função é igual a zero. Geometricamente o zero de uma função afim é o ponto de corte no eixo das abcissas.

Para definir este ponto basta resolver a equação  

 
Pontos de corte com os eixos em uma função afim

 

Logo o ponto de corte no eixo das abcissas é  

Toda e qualquer função afim também corta o eixo das ordenadas (eixo  ). Para definir este ponto de corte basta calcular  

 

Logo o ponto de corte no eixo y é  

AplicaçõesEditar

As funções afins possuem diversas aplicações, em situações que apresentam crescimento ou decrescimento linear.

 Relação com a progressão aritméticaEditar

 Ver artigo principal: Progressão aritmética

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante.[6]

Logo, por ter essa característica, vemos que o crescimento de uma P.A é linear e pode, portanto, ser representado por uma função afim.

Para chegar até a função afim de uma P.A. partiremos da fórmula do termo geral, que é:  

Como buscamos conhecer um termo em função da sua posição em uma P.A., podemos reescrever a fórmula como:

 [7]

Temos, aplicando a propriedade distributiva e organizando os termos:

 

 
Esboço do gráfico da função  

onde:

  é a variável dependente;   é a variável independente;   é o coeficiente angular;   é o coeficiente linear.

O domínio dessa função é o conjunto dos números naturais não nulos e a imagem é o conjunto dos números inteiros.

Exemplo:

Seja a progressão aritmética infinita   vamos verificar se seus termos são definidos pela fórmula  

Temos que   e  

Logo, a lei da função   é:

 

Observe ao lado o gráfico da função     

 Relação com o movimento retilíneo uniformeEditar

 Ver artigo principal: Movimento retilíneo uniforme

Situações que envolvem movimento em linha reta e com velocidade fixa podem ser estudadas utilizando funções afins. Para isso é preciso analisar a posição do objeto que se movimenta em função do tempo.

A física define a velocidade de um objeto como a razão entre a variação da distância pela variação do tempo, como observamos na fórmula abaixo:

 ,[8]

onde:

  é a distância final;   é a distância inicial;   a distância final e   a distância inicial.

Podemos simplificar a expressão, pois na maioria dos casos temos como ponto de partida um tempo inicial nulo,  

Logo é possível modificar a expressão utilizando algebrismos para encontrar uma função afim de posição em função do tempo.

 

Podemos reescrever de modo a obter  

 

Por fim basta renomear os termos para melhorar a lei da função. Assim dissemos que     e  

Logo a lei da função posição é:

 ,[9]

onde:

  •   é a posição após o tempo          
  •   é a velocidade e o coeficiente angular da função;        
  •   é o tempo que dura o deslocamento;        
  •   é a posição inicial e também o coeficiente linear da função.        

Referências

  1. «Só Matemática, Função de Primeiro Grau». www.somatematica.com.br. Consultado em 29 de outubro de 2015 
  2. Gelson., Iezzi, (2009). Fundamentos de matemática elementar, 1 : conjuntos, funções 7. ed. São Paulo (SP): Atual. ISBN 8535704558. OCLC 817124667 
  3. Dante, Luiz Roberto (2005). Matemática, volume único. São Paulo: Ática. ISBN 9788508098019 
  4. [1]
  5. a b Iezzi;, Gelson;; Murakami, Calor (2004). Fundamentos de Matemática Elementar 1, conjuntos, funções. [S.l.: s.n.] ISBN 978-85-357-0455-6 
  6. Iezzi, Gelson; Hazzan, Samuel (2004). Fundamentos de Matemática Elementar 4. Sequências, matrizes, determinantes, sistemas. São Paulo: [s.n.] ISBN 9788535704587 
  7. «Progressão Aritmética». InfoEscola. plus.google.com/+infoescola/. Consultado em 12 de novembro de 2015 
  8. «Movimento Retilíneo Uniforme (MRU) - Física». InfoEscola. plus.google.com/+infoescola/. Consultado em 12 de novembro de 2015 
  9. Dante, Luiz Roberto (2010). Matemática: Contexto e aplicações. [S.l.: s.n.] ISBN 9788508113002 

BibliografiaEditar

  • Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar,1: conjuntos, funções. 8. ed. São Paulo: Atual, 2004.