Função característica (probabilidade)

Em probabilidade, a função característica de uma variável aleatória X é a função

$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)$

quando esta esperança existe, em que t é o argumento (real ou imaginário) da função característica e i é uma raiz quadrada de menos um.

Toda variável aleatória contínua ou discreta possui função característica, que é calculada, respectivamente, por:

$\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}f_{X}(x)\,dx.$

$\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\sum _{x}e^{itx}p_{X}(x).$

Através da Fórmula de Euler, podemos escrever:

$e^{ix}=\cos \left(x\right)+i\,\operatorname {sen} \left(x\right),$

E, assim, o cálculo da esperança, para os casos contínuo e discreto, fica:

$\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }cos{(tx)}f_{X}(x)dx+i\int _{-\infty }^{\infty }sen{(tx)}f_{X}(x)dx.$

$\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\sum _{x}cos{(tx)}p_{X}(x)dx+i\sum _{x}sen{(tx)}p_{X}(x)dx.$

A função característica $\varphi _{X}(t)$ existe para todo $t\in \mathbb {R} .$ A função característica $\varphi _{X}(t)$ é também chamada de Transformada de Fourier de f .

Definição formal

Se X é uma variável aleatória simples, então

$\varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)\,t\in \mathbb {R}$ arbitrário.

Propriedades

Cada uma das funções $x\rightarrow \operatorname {E} \left(e^{itX}\right)$ é contínua e limitada.

Exemplos de usos

• (Teorema da continuidade de Lévy) Sejam $X_{n}$ e $X$ vetores aleatórios em $\mathbb {R} ^{k}.$ Então

$X_{n}$ converge em distribuição para $X$ se e somente se $\operatorname {E} \left(e^{itX_{n}}\right)$ $\rightarrow \operatorname {E} \left(e^{itX}\right)\,\forall t\in \mathbb {R} ^{k}$ é contínua e limitada.

Ver também

• Funções características de variáveis aleatórias (em inglês)