Função de Gel'fand Shilov

A Função de Gel'fand-Shilov (F.G.S.) consiste em uma das funções fundamentais do chamado Cálculo Fracionário, sendo de crucial importância para a definição de Integral Fracionária através de um produto de convolução.

Definição

Sejam $n\in \mathbb {N} -\{0}\$ e $v\in \mathbb {R} -\mathbb {Z} _{-}$. A função de Gel'fand-Shilov é definida por:

$\phi _{n}(t):={\begin{cases}{\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}},&{\text{se }}t\geq 0\\0,&{\text{se }}t<0.\end{cases}}$ e $\phi _{v}(t):={\begin{cases}{\frac {t^{v-1}}{\Gamma (v)}},&{\text{se }}t\geq 0\\0,&{\text{se }}t<0.\end{cases}}$

onde $\Gamma (v)$ é a função Gama.

OBS: A função Gama apresenta singularidades para $v\in \mathbb {Z} _{-}=\{{0,-1,-2,-3...}\}$.

Propriedade

Sejam $\alpha$ e $\beta$ definidos fora das singularidades da função Gama e $*$ o produto de convolução de Laplace. Tem-se que: $\phi _{\alpha }(t)*\phi _{\beta }(t)=\phi _{\alpha +\beta }(t)$.

De fato:

$\phi _{\alpha }(t)*\phi _{\beta }(t)=\int _{0}^{t}{\frac {{\bigl (}{t-\tau }{\bigr )}^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {{\tau }^{\beta -1}}{\Gamma (\beta )}}d\tau$$={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\int _{0}^{t}{\bigl (}{t[1-{\frac {\tau }{t}}}]{\bigr )}^{\alpha -1}{\tau }^{\beta -1}d\tau$

Introduzindo a mudança de variáveis: $u={\frac {\tau }{t}}$, segue que $du={\frac {d\tau }{t}}$.Estabelecendo os novos limites de integração, temos:

$={\frac {1}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\int _{0}^{1}{\bigl (}{t[1-u}]{\bigr )}^{\alpha -1}{{\bigl (}tu{\bigr )}}^{\beta -1}tdu$

$={\frac {t^{\alpha +\beta -1}}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\underbrace {\int _{0}^{1}{[1-u}]^{\alpha -1}{{\bigl (}u{\bigr )}}^{\beta -1}du} _{B(\alpha ,\beta )}$

Onde $B(\alpha ,\beta )$ é a função Beta para $\alpha$ e $\beta$ para $Re(\alpha )>0$ e $Re(\beta )>0$.

Utilizando o fato de que $B(\alpha ,\beta )={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}}$, segue que:

$\phi _{\alpha }(t)*\phi _{\beta }(t)={\frac {t^{\alpha +\beta -1}}{\Gamma (\alpha +\beta )}}=\phi _{\alpha +\beta }(t)$ ${}_{\blacksquare }$

Transformada de Laplace

A Transformada de Laplace da função de Gel'fand-Shilov é dada por: ${\mathcal {L}}\left\{\phi _{v}(t)\right\}=s^{-v}$.

De fato:

${\mathcal {L}}\left\{\phi _{v}(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}{\frac {t^{v-1}}{\Gamma (v)}}dt={\frac {1}{\Gamma (v)}}\int _{0}^{\infty }e^{-st}t^{v-1}dt$

Introduzindo a mudança de variáveis $st=u\Rightarrow sdt=du$, decorre que:

$={\frac {1}{\Gamma (v)}}\int _{0}^{\infty }e^{-u}{\Bigl (}{\frac {u}{s}}{\Bigr )}^{v-1}{\Bigl (}{\frac {du}{s}}{\Bigr )}$

$={\frac {1}{\Gamma (v)}}\int _{0}^{\infty }e^{-u}{\frac {u^{v-1}}{s^{v}}}du$

$={\frac {s^{-v}}{\Gamma (v)}}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{v-1}du$

$={\frac {s^{-v}}{\Gamma (v)}}\Gamma (v)$

$=s^{-v}$

$\therefore {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\phi _{v}(t)\right\}=s^{-v}}$ ${}_{\blacksquare }$

Comportamento Gráfico

Exemplo 1

Gráfico tridimensional da função de Gel'fand-Shilov, para $0<t\leq 5$ e $0<v\leq 2.5$:

Gráfico da função de Gel'fand-Shilov tridimensional