Variação total

Em análise matemática, define-se a variação total de uma função $f:D\to \mathbb {R} \,$ em um intervalo $[a,b]\subseteq D\,$ como:

${\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\sup \sum _{i}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,$

As variações positiva e negativa de uma função $f:D\to \mathbb {R} \,$ em um intervalo $[a,b]\subseteq D\,$ são definidas, respectivamente, como:

${\hbox{var}}_{[a,b]}^{+}(f)=\sup \sum _{(+)}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,$

${\hbox{var}}_{[a,b]}^{-}(f)=\sup \sum _{(-)}-\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|\,$

Em todos os casos o supremo é tomado sob todas as possíveis partições $x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \,$ do intervalo $[a,b]\,$, $(+)$ significa para todo $i$ tal que $f(x_{i})\geq f(x_{i-1})$ e $(-)$ significa para todo $i$ tal que $f(x_{i})\leq f(x_{i-1})$.

Propriedades da variação total

1. Se $f\,$ é um função monótona, então:

${\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\left|f(a)-f(b)\right|\,$

2. Se $f\,$ uma função real, então:

${\hbox{var}}_{[a,b]}(f)\geq {\hbox{var}}_{[c,d]}(f)\,$, sempre que $a\leq c\leq d\leq b\,$.

3. Se $f\,$ e $g\,$ são funções reais, vale

${\hbox{var}}_{[a,b]}(f+g)\leq {\hbox{var}}_{[a,b]}(f)+{\hbox{var}}_{[a,b]}(g)\,$,

4. Se $f\,$ uma função real, então:

${\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f)=|\alpha |{\hbox{var}}_{[a,b]}(f),~~\forall ~\alpha \in \mathbb {R} \,$,

5. Se $f\,$ uma função real, então:

${\hbox{var}}_{[a,c]}(f)={\hbox{var}}_{[c,b]}(f)+{\hbox{var}}_{[b,c]}(f),~~\forall ~c\in [a,b]\,$,

Relações entre as variações total, positiva e negativa

1. ${\hbox{var}}_{[a,b]}(f)={\hbox{var}}_{[a,b]}^{+}(f)+{\hbox{var}}_{[a,b]}^{-}(f)$.

2. $f(x)-f(a)={\hbox{var}}_{[a,b]}^{+}(f)-{\hbox{var}}_{[a,b]}^{-}(f)$.

Função de variação limitada

Diz-se que uma função real $f:D\to \mathbb {R} \,$ é de variação limitada em um intervalo $[a,b]\,$ se e somente se, para qualquer $\alpha <\infty$ vale que:

${\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f)<\infty \,$

Exemplo

Funções crescentes em um intervalo $[a,b]$ são de variação limitada neste intervalo.

Demonstração

Se $f$ é um função crescente em $[a,b]$, então ${\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f)=\alpha \sup \sum _{i}\left|f(x_{i})-f(x_{i-1})\right|=\alpha \sup \sum _{i}f(x_{i})-f(x_{i-1})\leq \alpha (f(b)-f(a))<\infty$.

Teorema

Uma função $f$ é de variação limitada em $[a,b]$ se, e somente se, $f$ é a diferença entre duas funções crescentes limitadas.

Demonstração

Se $f(x)=f_{1}(x)-f_{2}(x)$, com $f_{1},f_{2}$ crescentes e limitadas, então ${\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f)={\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha (f_{1}(x)-f_{2}(x)))\leq {\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f_{1}(x))-{\hbox{var}}_{[a,b]}(\alpha f_{2}(x))\infty$.

Por outro lado, se $f$ é devariação limitada em $[a,b]$, então considere $f_{1}(x)={\hbox{var}}_{[a,b]}^{+}(f)$ e $f_{2}(x)={\hbox{var}}_{[a,b]}^{-}(f)$. Obviamente $f_{1}$ e $f_{2}$ são funções crescentes e limitadas. Com isto temos que

$f(x)={\hbox{var}}_{[a,b]}^{+}(f)+f(a)-{\hbox{var}}_{[a,b]}^{-}(f)=f_{1}(x)+f_{2}(x)$.

Relação com a diferenciabilidade

Seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função de classe $C^{1}[a,b]\,$, então:

${\hbox{var}}_{[a,b]}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|dx\,$

A continuidade, no entanto, não garante que a função seja de variação limitada, um contra-exemplo é:

$f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}x\cos \left({\frac {\pi }{x}}\right),&x\neq 0\\0,&x=0\end{array}}\right.$

Esta função é contínua mas não é de variação limitada no intervalo $[0,1]\,$. Para provar isso considere o seguintes pontos:

$x_{n}={\frac {1}{n+1}},\quad f(x_{n})={\frac {1}{n+1}}(-1)^{n},n=0,1,2,\ldots \,$

Assim

$\left|f(x_{n})-f(x_{n-1})\right|={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n}}>1/n,n=1,2,3,\ldots \,$

Portanto, ${\hbox{var}}_{[0,1]}(f)\geq \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=+\infty \,$

Relação com a integrabilidade

A seguinte integral

$\int _{a}^{b}f(x)d\gamma (x)$

é bem conhecida quando temos $\gamma (x)=x$. Além disso, é sabido que, na verdade, é suficiente exigir que $\gamma$ seja uma função crescente. Porém, note agora que é suficiente exigir que $\gamma$ seja um função de variação limitada, pois neste caso temos que

$\gamma (x)=\lambda _{1}(x)-\lambda _{2}(x)$,

onde $\lambda _{1}$ e $\lambda _{2}$ são funções crescentes e limitadas.

Portanto, temos que

$\int _{a}^{b}f(x)d\gamma (x)=\int _{a}^{b}f(x)d(\lambda _{1}(x)-\lambda _{2}(x))=\int _{a}^{b}f(x)d\lambda _{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)d\lambda _{2}(x)$.

References

• Stein, Elias M.; Shakarchi, Rami (2007), Real Analysis, Princeton University .