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Em matemática, especialmente na teoria dos números e na teoria analítica dos números, uma função divisor, mais apropriadamente chamada função soma dos divisores, é uma função aritmética que associa a cada número natural n a soma das k-ésimas potências de seus divisores inteiros positivos, onde k é um número complexo (na teoria dos números clássica o expoente é geralmente um número inteiro). Quando o expoente k é nulo, a função retorna a contagem de divisores positivos de n. Denotada pela letra grega (sigma), ela está presente em várias relações, incluindo a função zeta de Riemann e a série de Eisenstein de uma forma modular. Essas funções foram bastante estudadas por Srinivasa Ramanujan, matemático indiano responsável por um grande número de congruências e identidades a elas referentes.

Índice

DefiniçãoEditar

Uma função divisor é definida como uma regra que associa a uma variável natural n a soma das k-ésimas potências (complexas) dos divisores d (naturais) de n. Dessa forma, pode-se expressar:

 

As notações  (n),  (n) e  (n) também são utilizadas para denotar  (n), particularmente denominada de função número-de-divisores[1][2] (sequência A000005 na OEIS), indicando a quantidade de divisores inteiros positivos de n. Dessa maneira, o expoente k dos divisores de n na expressão acima é igual a zero e assim tem-se

 .

Quando o expoente k é igual a 1, a função é chamada função soma-dos-divisores e o índice "1" é geralmente omitido. Como o próprio nome informa,  (n) associa ao inteiro n a soma de seus divisores naturais, de forma que

 .

Define-se ainda uma função - denotada por  (n) - que associa ao natural n a soma de seus divisores próprios, o que exclui o próprio n. Subsequentemente pode-se escrever

 .

Apesar da maneira aparentemente simples de definir a função, o cálculo do seu valor pode ser uma tarefa muito trabalhosa, conforme seja grande o valor de n (posto que se faz necessário conhecer seus divisores) ou na hipótese de serem usados expoentes complexos.

ExemplosEditar

  •  (30) fornece o número de divisores inteiros positivos de 30:
 
  •  (30) é a soma dos divisores de 30:
 
  •  (30) é a soma dos inversos dos divisores de 30:
 

PropriedadesEditar

Da definição pode-se constatar facilmente que:

 , pois 1 é o único divisor natural de 1, e;
 , pois existem pelo menos dois divisores de n, a saber, 1 e o próprio n.

Além disso, na desigualdade acima verifica-se também facilmente que:

  • se n é um número primo então existem apenas dois divisores inteiros positivos: 1 e n. Portanto
  para todo n primo;
  • se n é um número composto então existem inteiros a e b, relativamente primos (isto é, mdc(a,b) = 1), tais que n = ab, de forma que pelo menos 1, a, b e a b são divisores positivos de n. Logo
  para todo n composto.

Para determinar precisamente o valor de  (n) para n composto, faz-se necessário representar n por sua decomposição primária (em fatores primos), o que é visto a partir de agora.

Potências de primosEditar

Suponha que n = pa com p primo e a > 1 expoente natural. Então todos os divisores positivos de n estão evidentemente no conjunto {1, p, ...,pa}, formado por 1 e pelos múltiplos de p com expoentes inteiros menores do que ou igual a a. Dessa maneira, tem-se

 

Tomando arbitrariamente um índice k não nulo, para o mesmo natural n = pa (p primo e expoente natural a > 1), segue-se o raciocínio anterior. Assim, geralizando o cálculo de  (n) com k ≠ 0, tem-se

 

Como visto acima, se n = pa então n possui a + 1 divisores positivos distintos (1, p, ..., pa). Este é exatamente o valor obtido ao se fazer k = 0 na função  :

 

ExemplosEditar

  •  
  •  
  •  

Funções multiplicativasEditar

A função   é uma função multiplicativa, pois se m e n são primos relativos, isto é, se mdc(m,n) = 1, então  (mn) =  (m)  (n). Uma função para a qual este produto vale para quaisquer naturais m e n (não apenas primos relativos) é chamada de completamente multiplicativa, o que não é o caso de  . Para compreender isto, tomem-se por exemplo primos distintos p e q. Logo os divisores do produto p q são: 1, p, q e pq, de forma que

 .

Considere-se agora que q=q1q2 é um número composto relativamente primo com p, com q1 e q2 também primos relativos. Segue daí que

 .

O raciocínio aqui descrito sustenta fundamenta o teorema de generalização dado a seguir, cuja demonstração pode ser feita por indução matemática (ou indução finita).

GeneralizaçãoEditar

Sejam os primos p1, p2, ..., pm e os expoentes a1, a2, ...am tais que n = p1a1 p2a2 ... pmam (tal decomposição primária tem existência e unicidade garantidas pelo teorema fundamental da aritmética). Nessas condições, aplicando a cada potência de primo fator de n a expressão anteriormente obtida, e considerando que   é uma função multiplicativa, pode-se escrever

 , se k ≠ 0, e
 , se k = 0.

ExemplosEditar

  •  
  •  
  •  

Utilizando as expressões desenvolvidas anteriormente, e tomando-se a função   que para cada inteiro n = p1a1 p2a2 ... pmam não nulo associa a quantidade m de fatores primos distintos de n (logo ω(n) = m), obtém-se a seguinte expressão para   com k ≠ 0:

 

Números perfeitosEditar

Um conceito pertinente aos números naturais, estudado desde a Grécia Antiga, é o de abundância. O uso da função   permite definir abreviadamente o seu significado, de forma que um natural n é chamado:

  • abundante, se  (n) > 2n
  • perfeito, se  (n) = 2n
  • deficiente, se  (n) < 2n

ExemplosEditar

  • 12 é abundante, pois
 
  • 6 é perfeito, visto que
 
  • 8 é deficiente, porque
 

Todo número perfeito conhecido é par e possui relação estreita com algum primo de Mersenne. O mais antigo problema em aberto em toda a Matemática, que remonta aos gregos clássicos, consiste em provar a existência ou não de números perfeitos ímpares. Também não se sabe ainda se a quantidade de números perfeitos pares é finita ou não[3].

Outra forma de verificar a abundância de um número natural é pelo uso de  . Afinal, conforme a definição da função divisor com índice -1, para todo natural n tem-se

 

Consequentemente, pode-se afirmar que

  • n é abundante se  (n) > 2
  • n é perfeito se  (n) = 2
  • n é deficiente se  (n) < 2

Custo aritméticoEditar

Interessa àqueles que de fato aplicam as funções em cálculos estimar o esforço necessário para computar os seus valores, o que é medido pelo número de operações efetuadas. Nesse sentido, da fórmula de   decorre[4] que

 

Daí, utilizando a expressão de   (função totiente de Euler), tem-se

 

Além disso, uma vez que

 ,

e também como

     (vide função totiente de Euler),

subsequentemente é certo que

 .

Relação com outras funçõesEditar

Considerando a função   (função totiente de Euler) e a função   (função zeta de Riemann), pode-se provar as relaçoes seguintes, em que constam a função divisor, desde que o complexo s seja tal que |s| > 1:

 ,

em que  (n) é tal que

 .
 .
 .

Esta soma aparece também na série de Fourier da série de Eisenstein e como invariantes das funções elípticas de Weierstrass.

Ligações externasEditar


Referências

  1. Long (1972, p. 46)
  2. Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 63)
  3. Santos, José P de O; Coleção Matemática Universitária: Introdução à Teoria dos Números, Rio de Janeiro: IMPA, 2006
  4. Martinez, Fabio Brochero, et al;Projeto Euclides: Teoria dos Números. Um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro, Rio de Janeiro: IMPA, 2010
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