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Função injectiva

função que associa imagens distintas a elementos distintos

Na matemática, uma função injectiva (ou injetora) é uma função que preserva a distinção: nunca aponta elementos distintos de seu domínio para o mesmo elemento de seu contradomínio. Em outras palavras, cada elemento do contradomínio da função é a imagem de no máximo um elemento de seu domínio. Ou seja, Uma função diz-se injectiva (ou injetora) se e somente se quaisquer que sejam e (pertencentes ao domínio da função), é diferente de implica que f() é diferente de f(): .

Uma função injetiva, mas não sobrejetiva (injeção, mas é não uma bijeção
Uma função injetiva e sobrejetiva (bijeção
Uma função sobrejetiva, mas não injetiva (sobrejeção, não é uma bijeção
Uma função nem injetiva, nem sobrejetiva (também não é uma bijeção

Graficamente, uma função é injectiva se e somente se nenhuma recta horizontal intersecta o seu gráfico em mais do que um ponto.

É importante notar que, neste tipo de função, o contradomínio tem uma cardinalidade sempre maior ou igual à do domínio. Além disso, pode haver mais elementos no contra-domínio que no conjunto imagem da função.

Ocasionalmente, uma função injetiva de a é denotada , usando uma seta com uma "cauda separada" (U+21A3 rightwards arrow with tail).[1] O conjunto de funções injetivas de a pode ser denominado usando uma notação derivada daquela usada para decrescimento de potências fatoriais, uma vez que se e são conjuntos finitos com respectivamente e elementos, o número de injeções de a é .

Um monomorfismo é uma generalização de uma função injetiva na teoria das categorias.

DefiniçãoEditar

Seja   uma função cujo domínio é um conjunto  . Diz-se que a função   é injetiva desde que para todos   e   em  , sempre que  , então  ; isto é,   implica  . Equivalente, se  , então  .

Simbolicamente,

 

que é logicamente equivalente à contrapositiva,

 

ExemplosEditar

  • A função   definida por   não é injectiva, pois existe pelo menos um   tal que  , por exemplo, para  . Isto é, o domínio da função admite que dois objectos distintos tenham a mesma imagem. Noutras palavras, existem dois valores diferentes que possam substituir a variável   para que o valor da função   seja igual a 4. Esses valores são 2 e -2.
  • A função   definida por   é injectiva, pois implica que   deve ser diferente de  , para  . Isto é, o domínio admite somente um valor para cada imagem. Como por exemplo, para que a função seja igual a 4, poderíamos substituir a variável   somente pelo número 2.
  • A função   definida por   é injectiva, pois implica que   deve ser diferente de  , para  . Isto é, o domínio admite somente um valor para cada imagem. Como por exemplo, para que a função seja igual a 8, poderíamos substituir a variável   somente pelo número 2, enquanto que para que a função seja igual a -8, poderíamos substituir a variável   somente pelo número -2.

Aplicações linearesEditar

  • Uma transformação linear   é dita injetora (ou injetiva) se, e somente se, o seu núcleo   — ou ainda,   — contiver apenas o vetor nulo e, pois, tiver dimensão zero — isto é,  .

A demonstração segue adiante:

→ Hipótese: T não é injetora →  , com  , para algum  .

Das propriedades da transformação linear:

 

Como u ≠ v ⇔ u - v ≠ 0, então:

 .

O caso de T ser injetora é exclusivo e podemos afirmar que se  .

  • Uma transformação linear   também é dita injetiva se, e somente se, leva vetores L.I em vetores L.I. (LI = linearmente independentes)

Segue a demonstração:

Prova da ida:

Hipótese: A é injetiva

Tese: A leva vetores LI em vetores LI.

Se   são linearmente independentes provaremos que   são linearmente independentes.

Com efeito se  

Usando a linearidade de A:

 

 

Então temos que   pertence ao núcleo de  , e como   é injetiva,  , ou seja,

 , como   são LI tem-se  , ou seja   são linearmente independentes.

Prova da volta:

Hipótese: A leva vetores LI em vetores LI.

Tese: A é injetiva.

Sendo   é LI então   é  , portanto   e   é injetiva.

Segue-se desse teorema que se   tem dimensão finita,  , assim por exemplo não existe transformação linear injetiva de   em  .

Injeções podem ser desfeitasEditar

Funções com inversas à esquerda são sempre injeções. Isto é, dado  , se houver uma função   tal que, para cada  ,

  (  pode ser desfeita por  )

então   é injetiva. Nesse caso,   é chamada de retração de  . Por outro lado,   é chamado de seção de  .

Inversamente, toda injeção   com domínio não vazio tem uma   inversa à esquerda, que pode ser definida fixando um elemento a no domínio de   de modo que   seja igual à pré-imagem única de   sob  , se existir e   caso contrário.[2]

A inversa à esquerda   não é necessariamente um inverso de   porque a composição na outra ordem,  , pode diferir da identidade em  . Em outras palavras, uma função injetora pode ser "invertida" por uma inversa à esquerda, mas é não necessariamente invertível, o que requer que a função seja bijetiva.

Injeções podem tornar-se invertíveisEditar

Na verdade, para transformar uma função injetora   em uma função bijetiva (portanto, invertível), basta substituir seu contradomínio   pelo seu intervalo real  . Isto é, vamos   tal que   para todo   em  ; então g é bijetiva. De fato,   pode ser fatorada como  , onde   é a função de inclusão de   em  .

Mais geralmente, as funções parciais injetivas são chamadas de bijeções parciais.

Outras propriedadesEditar

  • Se   e   são ambas injetivas, então   é injetiva.
 
A composição de duas funções injetivas é injetiva
  • Se   é injetiva, então   é injetiva (mas   não precisa ser).
  •   é injetiva se, e somente se, dadas quaisquer funções   sempre que  , então  . Em outras palavras, funções injetivas são precisamente os monomorfismos na categoria Conjunto de conjuntos.
  • Se   é injetiva e   é um subconjunto de  , então  . Assim,   pode ser recuperado de sua imagem  .
  • Se   é injetiva e   e   são ambos subconjuntos de  , então  .
  • Cada função   pode ser decomposta como   para uma injeção adequada   e uma sobrejeção  . Esta decomposição é única até o isomorfismo, e   pode ser considerada como a função de inclusão do intervalo   de   como um subconjunto do contradomínio   de  .
  • Se   é uma função injetiva, então   tem pelo menos tantos elementos quanto  , no sentido de números cardinais. Em particular, se, além disso, houver uma injeção de   para  , então   e   terão o mesmo número cardinal. (Isso é conhecido como o teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder.)
  • Se tanto   quanto   são finitos com o mesmo número de elementos, então   é injetiva se e somente se   é sobrejetiva (nesse caso   é bijetiva).
  • Uma função injetiva que é um homomorfismo entre duas estruturas algébricas é uma incorporação.
  • Ao contrário da sobrejetividade, que é uma relação entre o gráfico de uma função e seu contradomínio, a injetividade é uma propriedade do gráfico da função sozinha; isto é, se uma função   é injetiva pode ser decidida considerando apenas o gráfico (e não o contradomínio) de  .

Provando que as funções são injetivasEditar

Uma prova de que uma função   é injetiva depende de como a função é apresentada e quais propriedades ela contém. Para funções que são dadas por alguma fórmula, há uma ideia básica. Usamos a contrapositiva da definição de injetividade, ou seja, se  , então  .[3]

Exemplo 1Editar

 

Prova: Seja  . Suponha que  . Então,  . Portanto, segue da definição que   é injetiva.

Exemplo 2Editar

 

Prova: Seja  . Suponha que  . Então,  . Assim, segue da definição que   é injetiva.

Existem vários outros métodos para provar que uma função é injetiva. Por exemplo, no cálculo se   é uma função diferenciável definida em algum intervalo, então é suficiente mostrar que a derivada é sempre positiva ou sempre negativa nesse intervalo. Na álgebra linear, se   é uma transformação linear, é suficiente mostrar que o núcleo de   contém apenas o vetor zero. Se   é uma função com domínio finito, basta olhar a lista de imagens de cada elemento de domínio e verificar se nenhuma imagem ocorre duas vezes na lista.

Ver tambémEditar

NotasEditar

  1. «Unicode» (PDF). Consultado em 11 de maio de 2013 
  2. Ao contrário da afirmação correspondente de que toda função sobrejetiva tem um inverso à direita, isso não requer o axioma da escolha, já que a existência de a é implicada pela não-vacuidade do domínio. No entanto, esta afirmação pode falhar em matemática menos convencional, como a matemática construtiva. Na matemática construtiva, a inclusão {0,1} → 'R' do conjunto de dois elementos nos reais não pode ter inversão à esquerda, pois violaria indecomposição, dando uma retração da reta real para o conjunto {0,1}.
  3. Williams, Peter. «Proving Functions One-to-One». Cópia arquivada em 4 de junho de 2017 

ReferênciasEditar

Ligações externasEditar