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Em matemática, uma função é dita limitada se sua imagem é um conjunto limitado. Analogamente, dizemos que uma função é ilimitada quando ela não é limitada.

Função real limitadaEditar

Uma função real   é limitada se existe uma constante   tal que:[1][2]

 

Além disso, dizemos que   é uma função limitada superiormente quando existe   tal que:[1][2]

 .

Analogamente, dizemos que   é limitada inferiormente quando existe   tal que:[1][2]

 .

Desta forma, podemos observar que uma função real é limitada quando for simultaneamente limitada superiormente e inferiormente. Analogamente, uma função real é ilimitada quando for ilimitada superiormente ou inferiormente.

PropriedadesEditar

Sejam duas funções   e   de contra-domínio real. Se   é limitada, e se  , então  .[1]

Demonstração

Suponhamos que   é uma função não-negativa. Se   não há nada mais a fazer. Se   é positiva, temos que como   é limitada, então existe  ,   tal que  . Segue que:

  e assim  .

Logo:

 
 
 

Assim, pelo teorema do confronto,  . O caso de   negativa segue raciocínio análogo.

ObservaçãoEditar

Referências

  1. a b c d Lima, Elon Lages (2012). Análise Real - vol. 1 11 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 978-85-244-0048-3 
  2. a b c Ávila, Geraldo (2000). Introdução à análise matemática 2 ed. [S.l.]: Edgard Blücher 
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