Função multiplicativa

IntroduçãoEditar

O conceito de função multiplicativa tem importância capital no desenvolvimento da teoria algébrica dos números, como o produto de Dirichlet, e na teoria analítica dos números, como nas séries de Dirichlet. Para avaliação de uma função multiplicativa basta conhecer seus valores em potências de primos.[1]

DefiniçãoEditar

Uma função aritmética é uma função matemática cujo domínio de definição compreende os números inteiros positivos, isto é, os números naturais. Uma função aritmética não nula   é chamada de multiplicativa se


 


para todo par m e n de primos relativos (tais que mdc(m,n) = 1).[2][Nota 1]


Uma função aritmética é denominada completamente multiplicativa quando a relação   é válida para quaisquer naturais m e n. [2] Sendo este o caso, então, por exemplo, tem-se  2(n) =  (n2).


Exemplos triviaisEditar

  • A função  (n) = 1 para todo número natural n, é uma função completamente multiplicativa. De fato, dados naturais a e b quaisquer, tem-se  (ab) = 1 = 1 · 1 =  (a (b).


  • A função  (n) = c para todo natural n, em que c é uma constante diferente da unidade, não é multiplicativa. Dessa maneira, verifica-se facilmente que  (6) = cc2 =  (2)· (3).


  • A função identidade  (n) = n é completamente multiplicativa, pois se n = ab, com a e b naturais quaisquer, então  (n) = n = ab =  (a (b).


Exemplos não triviaisEditar

  • A função totiente de Euler  (n) é uma função multiplicativa.[1][2] Entretanto   não é uma função completamente multiplicativa: dado um primo p arbitrário,  (p2) = p(p - 1) ≠ (p - 1)2 =  (p (p).


  • A função divisor  k(n) também é função multiplicativa,[1][2] mas não é completamente multiplicativa já que, por exemplo, para um primo p constata-se que  (p2) = 1 + p + p2 ≠ 1 + 2p + p2 = (1 + p)(1 + p) =  (p (p).


  • A função número de divisores D(n) é multiplicativa[2] (não poderia ser diferente, dado que D(n) =  0(n), que é multiplicativa conforme o exemplo anterior). É fácil ver que D(n) não é completamente multiplicativa: D(2) = 2, D(4) = 3 e D(2)·D(2) ≠ D(4).

TeoremasEditar

Teorema 1Editar

Se   é uma função multiplicativa então       também é uma função multiplicativa.

Demonstração[1]Editar

Uma vez que todo divisor de mn pode ser expresso de modo único por meio do produto d1·d2, tal que d1|m e d2|n, com d1 e d2 relativamente primos, e como, por hipótese,   é multiplicativa, segue que


 


Como aplicação do teorema, pode-se provar que a função   é multiplicativa (a extensão da prova para  k com k qualquer não é complexa): definindo   como a função identidade, então (como já visto nos exemplos triviais acima)   é multiplicativa e segundo o teorema é também multiplicativa a função


 


O caso  0(n) =  (n) também é simples: toma-se  (d) = 1 para todo divisor d de n e então


 


Teorema 2Editar

Se     é uma função completamente multiplicativa e monótona então existe     tal que   .

Demonstração[3]Editar

Como   é por hipótese monótona, suponha   estritamente crescente (caso contrário, considere  ). Seja  . Logo  . Assim, para todo natural m tem-se


 


em que   e   são respectivamente a função chão e a função teto. Além disso, como


 ,


segue finalmente que


 .

Ligações ExternasEditar



Notas e referências

Notas

  1. No texto Applied Abstract Algebra, a função é definida com domínio no conjunto dos números naturais e contradomínio no conjunto dos números complexos, porém o conceito pode ser generalizado para funções com domínio no conjunto dos números inteiros e contradomínio em qualquer grupo multiplicativo, como por exemplo um conjunto de matrizes.

Referências

  1. a b c d Santos, José P. de O.; Coleção Matemática Universitária: Introdução à Teoria dos Números, Rio de Janeiro: IMPA, 2006
  2. a b c d e Nikos Drakos e Ross Moore, Applied Abstract Algebra, Multiplicative Functions [em linha] Arquivado em 22 de setembro de 2010, no Wayback Machine.
  3. Martinez, Fabio B., et al; Projeto Euclides: Teoria dos Números - um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro, Rio de Janeiro: IMPA, 2010
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