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Função quadrática

Definição formalEditar

Uma função   de   em  , é uma função quadrática quando associa cada   o elemento  , em que  ,  ,   são números reais, dados e  .

Logo uma função quadrática é expressa pela lei:

 .

Coeficientes da função quadráticaEditar

Os coeficientes de uma função quadrática são os números reais  ,   e   citados na definição formal acima.

Dependendo do valor de cada coeficiente o gráfico da função tem características diferentes.

 Formas da função quadráticaEditar

Uma função quadrática pode ser expressa em três formatos:

  •   é chamada a forma geral, forma padrão ou forma polinomial (também chamada de forma desenvolvida),
  •   é chamada a forma fatorada, onde   e   são as raízes da função quadrática, e as soluções da equação quadrática correspondente
  •   é chamada a forma vértice (também chamada de forma canônica), em que   e   são as coordenadas   e   do vértice, respectivamente.

Forma canônicaEditar

A forma canônica de uma função quadrática é usada para estudar analiticamente a função, uma vez que nessa forma podemos observar diversas características da função apenas com base em seus termos.

  ou  , com   e  .

As duas principais aplicações da forma canônica são a verificação do vértice da função e a demonstração do ponto de máximo ou mínimo da função.

Transformação da forma geral para canônicaEditar

Seja a função quadrática  , vamos transformá-la na forma canônica:

Primeiramente, coloca-se o coeficiente   em evidência, da seguinte forma:

 

Então, no interior dos parênteses, soma-se e subtrai-se pelo termo  , para completar quadrados.

 

Assim, observamos que os três primeiros termos do parênteses são resultados de um produto notável, podendo ser resumidos como:

 

Substituindo-se isto na função obtêm-se:

 

Por fim é feito algumas alterações e obtêm-se:

 

Para simplificar essa forma, pode-se dizer que existe  , tais que   e  , transcrevendo a forma canônica da seguinte maneira:

 

Zeros da função[1]Editar

Os zeros, ou raízes de uma função quadrática, são os valores de   cuja imagem é  .

Esses valores são conhecidos como   e   e podem ser descobertos por meio da fórmula quadrática  .

Logo, as raízes são:

  e  .

Normalmente essa fórmula é simplificada, adotando o uso do discriminante, representado pela letra grega delta que é definido por  .

Assim a fórmula pode ser reescrita como:

 , onde   e  .

Demonstração usando complementação de quadradosEditar

Uma das formas de demonstrar a fórmula quadrática é utilizando complementação de quadrados.

Demonstração

Seja a função  , dizemos que suas raízes são os valores de   que zeram a lei da função, ou seja, que tornam sua equação nula, da seguinte forma:

 .

Partindo daqui, reescrevemos a função, isolando os termos que estão em função de  :

 

Para completar quadrados, somamos o termo   a ambos os lados da equação, fazendo com que ela fique reescrita da seguinte forma:

 

Assim, no primeiro membro temos que   e no segundo membro, após efetuar a diferença entre as frações temos que  .

Logo, temos que:

 

Podemos tirar a raiz quadrada de ambos os lados da equação, de foma a reescrever da seguinte forma:

 

Agora, procuramos isolar o   na equação, seguindo dois passos intermediários:

 

Por fim, para isolar o  , multiplicamos os dois lados da igualdade por  , assim:

 

Dessa forma, é possível simplificar ambos os lados da igualdade, chegando por fim, à fórmula:

 .

Demonstração usando forma canônicaEditar

Também é possível demonstrar a fórmula quadrática a partir da forma canônica.

Demonstração

Seja a função quadrática  , sua forma canônica é:

  

Sabendo que as raízes de uma função são os valores de   que possuem imagem nula, podemos escrever:

 

Para simplificar a função, podemos dividir ambos os termos da igualdade por  , de modo a obter:

 

Reescrevendo esta igualdade, temos que:

 .

Então tiramos a raiz quadrada de ambos os lados, ficando com:

 

Por fim isolamos a incógnita em um dos lados da igualdade:

 

Enfim, pode-se unir as duas frações de modo a obter a fórmula quadrática:

 

Estudo das raízesEditar

Observe que a existência de raízes reais e sua quantidade de uma equação quadrática fica condicionado ao valor do discriminante  .

Discriminante positivo:  

Caso o valor de delta seja positivo dizemos que a equação possui duas raízes distintas,   e   que zeram a equação. Essas raízes podem ser obtidas pela fórmula quadrática vista acima.

  e   e  

Discriminante nulo:  

Caso o valor do discriminante seja nulo, dizemos que a equação possui duas raízes iguais.

 [2]

Discriminante negativo:  

Caso o valor de delta seja negativo, dizemos que a equação não possui raízes reais.

Para encontrar as raízes de uma função com discriminante negativo precisamos recorrer ao conjunto dos número complexos, onde há a unidade imaginária  .

 Ver artigo principal: Números complexos

Forma fatorada da função quadráticaEditar

A forma fatorada de uma função quadrática é expressa por:

 , onde   e   são as raízes da função.

Para obter essas raízes pode-se utilizar a fórmula quadrática (conhecida no Brasil como fórmula de Bhaskara) ou o método da soma e produto.

Determinação dos zeros pela equação soma e produtoEditar

É possível determinar os zeros de uma função quadrática em função das relações existentes entre seus coeficientes e suas raízes.

Para isso existe a relação de soma e produto que determina:

Soma das raízes:  

Produto das raízes:  

Assim, é possível montar um sistema de equações e encontrar as raízes.

Demonstração

Partindo-se da forma fatorada e aplicando a propriedade distributiva é possível demonstrar as relações de soma e produto de uma função quadrática:

 

Assim, é possível simplificar a função de modo que ela fique:

 

Sabendo que uma função quadrática pode ser expressa como  , podemos igualar estas duas da seguinte forma:

 

Igualando os coeficientes temos as seguintes relações:

  1.  
  2.  

GráficoEditar

 Ver artigo principal: Parábola

O gráfico de uma função quadrática é sempre uma Parábola com eixo de simetria perpendicular ao eixo  .

Interpretação geométrica das raízesEditar

 
Interpretação geométrica das raízes das funções quadráticas

Geometricamente, dizemos que os zeros, ou raízes, de uma função quadrática são as abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo  .

A interpretação geométrica das raízes pode ser feita levando em conta o valor do discriminante  , assim como foi feito anteriormente com o estudo das raízes.

Discriminante positivo:  

Nesse caso, como a função possui duas raízes distintas, seu gráfico possui dois pontos de corte no eixo  .

Discriminante nulo:  

Nesse caso, como a função possui duas raízes iguais (ou podemos dizer que possui apenas uma raiz), seu gráfico intercepta o eixo   no vértice.

Discriminante negativo:  

Nesse caso, como a função não admite raízes reais, seu gráfico não intercepta o eixo  .

Relação entre os coeficientes e o gráficoEditar

O coeficiente aEditar

O coeficiente   diz respeito a concavidade da parábola.

Dependendo do valor do coeficiente   o vértice pode ser um ponto máximo ou um ponto mínimo da função.

O coeficiente bEditar

Indica se a parábola intersecta o eixo   de forma crescente ou decrescente.

  •  
  •  
  •  

O coeficiente cEditar

O coeficiente   é o termo independente da função e indica o ponto do eixo   que a parábola o intersecta.

Por exemplo, se   a parábola irá cruzar o eixo   no ponto  ; se   o ponto será exatamente  ; e   a parábola irá cortar o eixo   na sua origem, isto é, no ponto  .

VérticeEditar

 
Esboço do gráfico de uma função quadrática e seu vértice

O vértice da parábola é o ponto crítico da função quadrática, ou seja, é o ponto em que a função muda seu comportamento com relação ao seu crescimento ou decrescimento. O vértice é o ponto:

 

Definição do vértice usando média entre as raízesEditar

Sempre que uma função quadrática corta o eixo   com duas raízes, podemos observar que o eixo de simetria da parábola será uma reta perpendicular ao eixo   no ponto médio entre as duas raízes.

Como o eixo de simetria de uma parábola passa pelo vértice, concluímos que a abcissa do ponto médio entre as duas raízes é o valor   do vértice.

Assim, concluímos que:   e  .

Demonstração

Para demonstrar que   e que  , partiremos das definições vistas acima:

Sabemos que as raízes de uma função quadrática são   e   e que  , temos que: 

Sabendo que  , vamos mostrar agora que  .

Partindo-se da forma canônica, calcularemos  :

 .

Logo, o vértice de uma função quadrática é o ponto  .[3]

Demonstração do vértice usando função derivadaEditar

 Ver artigo principal: Derivada

Vamos demonstrar que o vértice de uma função quadrática é o ponto  . Para isso, usaremos o conceito de ponto crítico e função derivada.

Teorema

Seja uma função quadrática  , seu vértice da parábola que representa seu gráfico é o ponto  .

Demonstração

Como já foi definido, o vértice é um ponto crítico da função quadrática. Por isso, dizemos que o vértice é um ponto em que a derivada primeira da função é nula.

Sendo   a função, temos que sua derivada, pela regra da derivação de polinômios é  .

Para encontrar o ponto do domínio que corresponde ao vértice, precisamos encontrar o valor de   que satisfaça a equação  .

Isolando o   na equação, temos:

 

Após descobrir o valor de   que satisfaz a equação, podemos calcular a sua imagem, que é a imagem do vértice, assim:

 

Logo, a imagem   é  , ou seja, o vértice é o ponto  .[4]

Concavidade da parábolaEditar

 
Esboço do gráfico de uma função com concavidade voltada para cima

A concavidade da parábola de uma função quadrática   depende do valor do coeficiente  . Assim, quando   a parábola tem concavidade voltada para cima e possui um ponto de mínimo que é o vértice. Quando   a parábola tem concavidade voltada para baixo e possui um ponto de máximo, que é o vértice.

Para demonstrar a concavidade da parábola, precisamos demonstrar:

  1. Se  , a função quadrática   admite o valor máximo   para  . Por consequência disso, a parábola tem concavidade voltada para baixo.
  2. Se  , a função quadrática   admite o valor mínimo   para  . Por consequência disso, a parábola tem concavidade voltada para cima.
Demonstrações
 
Esboço do gráfico de uma função com concavidade voltada para baixo
Teorema 1

Consideremos a função quadrática em sua forma canônica:

 

Sendo  , o valor de   será tanto maior quanto menor for o valor da diferença  .

Nessa diferença,   é constante (porque não depende de  ; depende apenas de  ,  ,  ) e   para todo   real (pois está elevado ao quadrado). Então a diferença assume o menor valor possível quando  , ou seja, quando  

Vemos então que a imagem de   é:

 .

Logo, o ponto   é o vértice da parábola que é o ponto de máximo da função, fazendo com que a concavidade da parábola seja para baixo.

Teorema 2

Prova-se modo análogo ao teorema 1.

Referências

  1. Giovanni, José Ruy; Bonjorno, José Roberto; Giovanni, José Ruy Jr. (2002). Matemática Completa. [S.l.: s.n.] ISBN 8532248276 
  2. Dante, Luiz Roberto (2010). Matemática - contexto e aplicações. [S.l.: s.n.] ISBN 9788508112999 
  3. Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos (2004). Fundamentos de matemática elementar 1. [S.l.: s.n.] ISBN 9788535704556 
  4. «O Blog do Mestre: Como calcular e demonstrar as coordenadas do vértice de uma parábola?». www.oblogdomestre.com.br. Consultado em 10 de março de 2016 

Ligações externasEditar