Função quadrática

função polinomial de uma variável em que o termo de maior grau é de grau dois

Na álgebra, uma função quadrática, um polinômio quadrático, um polinômio de grau 2, ou simplesmente um quadrático, é uma função polinomial com uma ou mais variáveis em que o termo de maior grau é de segundo grau.

Um polinômio quadrático com duas raízes reais (cruzamentos do eixo x ) e, portanto, sem raízes complexas . Alguns outros polinômios quadráticos têm seu mínimo acima do eixo x, caso em que não há raízes reais e duas raízes complexas.

Por exemplo, uma função quadrática univariada (variável única) tem a forma [1]

na única variável x . O gráfico de uma função quadrática univariada é uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo y, como mostrado à direita.

Se a função quadrática for definida como zero, o resultado será uma equação quadrática . As soluções para a equação univariada são chamadas de raízes da função univariada.

O caso bivariável em termos de variáveis x e y tem o formulário

com pelo menos um de a, b, c diferente de zero, e uma equação definindo esta função igual a zero dá origem a uma seção cônica (um círculo ou outra elipse, uma parábola ou uma hipérbole ).

Uma função quadrática em três variáveis x, y e z contém exclusivamente os termos x 2, y 2, z 2, xy, xz, yz, x, y, z e uma constante:

com pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f dos termos de segundo grau sendo diferente de zero.

Em geral, pode haver um número arbitrariamente grande de variáveis, caso em que a superfície resultante de definir uma função quadrática como zero é chamada de quádrica, mas o termo de grau mais alto deve ser de grau 2, como x 2, xy, yz, etc.

EtimologiaEditar

O adjetivo quadrático vem da palavra latina quadrātum (" quadrado "). Um termo como x2 é chamado de quadrado em álgebra porque é a área de um quadrado com o lado x .

TerminologiaEditar

CoeficientesEditar

Os coeficientes de um polinômio são frequentemente considerados números reais ou complexos, mas, na verdade, um polinômio pode ser definido em qualquer anel .

GrauEditar

Ao usar o termo "polinômio quadrático", os autores às vezes querem dizer "tendo grau exatamente 2", e às vezes "tendo grau no máximo 2". Se o grau for menor que 2, isso pode ser chamado de " caso degenerado ". Normalmente, o contexto estabelecerá qual dos dois se refere.

Às vezes, a palavra "ordem" é usada com o significado de "grau", por exemplo, um polinômio de segunda ordem.

VariáveisEditar

Um polinômio quadrático pode envolver uma única variável x (o caso univariado) ou múltiplas variáveis, como x, y e z (o caso multivariado).

O caso de uma variávelEditar

Qualquer polinômio quadrático de variável única pode ser escrito como

 

onde x é a variável e a, b e c representam os coeficientes . Na álgebra elementar, esses polinômios costumam surgir na forma de uma equação quadrática   . As soluções para essa equação são chamadas de raízes do polinômio quadrático e podem ser encontradas por meio da fatoração, do preenchimento do quadrado, da representação gráfica, do método de Newton ou do uso da fórmula quadrática . Cada polinômio quadrático tem uma função quadrática associada, cujo gráfico é uma parábola .

Caso bivariadoEditar

Qualquer polinômio quadrático com duas variáveis pode ser escrito como

 

onde x e y são as variáveis e a, b, c, d, e e f são os coeficientes. Tais polinômios são fundamentais para o estudo de seções cônicas, que se caracterizam por igualar a expressão de f ( x, y ) a zero. Da mesma forma, polinômios quadráticos com três ou mais variáveis correspondem a superfícies quádricas e hipersuperfícies . Na álgebra linear, polinômios quadráticos podem ser generalizados para a noção de uma forma quadrática em um espaço vetorial .

Formas de uma função quadrática univariadaEditar

Uma função quadrática univariada pode ser expressa em três formatos: [2]

  •   é chamado de formulário padrão ,
  •   é chamada de forma fatorada, onde r1 e r2 são as raízes da função quadrática e as soluções da equação quadrática correspondente.
  •   chama-se a forma de vértice, em que h e k são as coordenadas x e y do vértice, respectivamente.

O coeficiente a é o mesmo valor em todas as três formas. Para converter a forma padrão para a forma fatorada, é necessária apenas a fórmula quadrática para determinar as duas raízes r1 e r2 . Para converter a forma padrão em forma de vértice, é necessário um processo chamado preenchimento do quadrado . Para converter a forma fatorada (ou forma de vértice) para a forma padrão, é necessário multiplicar, expandir e / ou distribuir os fatores.

 
 
 
 
 
 

Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática univariada   é uma parábola (conforme mostrado à direita). Equivalentemente, este é o gráfico da equação quadrática bivariada   .

  • Se a > 0, a parábola abre para cima.
  • Se a < 0 a parábola se abre para baixo.

O coeficiente a controla o grau de curvatura do gráfico; uma magnitude maior de a dá ao gráfico uma aparência mais fechada (curva acentuada).

Os coeficientes b e a juntos controlam a localização do eixo de simetria da parábola (também a coordenada x do vértice e o parâmetro h na forma do vértice) que está em

 

O coeficiente c controla a altura da parábola; mais especificamente, é a altura da parábola onde intercepta o eixo y .

VérticeEditar

O vértice de uma parábola é o lugar onde ela gira; portanto, também é chamado de ponto de inflexão . Se a função quadrática está na forma de vértice, o vértice é (h, k) . Usando o método de completar o quadrado, pode-se virar o formulário padrão

 

para dentro

 

então o vértice, (h, k), da parábola na forma padrão é

 

Se a função quadrática estiver na forma fatorada então

 

a média das duas raízes, ou seja:

 

é a coordenada x do vértice e, portanto, o vértice (h, k) é

 

O vértice também é o ponto máximo se a < 0, ou o ponto mínimo se a > 0 .

A linha vertical:

 

que passa pelo vértice é também o eixo de simetria da parábola.

Pontos de máximos e mínimosEditar

Usando o cálculo, o ponto do vértice, sendo um máximo ou mínimo da função, pode ser obtido encontrando as raízes da derivada :

 

x é uma raíz de f '(x) if f '(x) = 0 resultando em:

 

com o valor da função correspondente temos:

 

então, novamente, as coordenadas do ponto do vértice, (h, k), podem ser expressas como

 

Raízes da função univariadaEditar

Predefinição:Quadratic equation graph key points.svgPredefinição:Quadratic function graph complex roots.svg

Raízes exatasEditar

As raízes (ou zeros ), r1 e r2, da função quadrática univariada

 

são os valores de x para os quais f(x) = 0 .

Quando os coeficientes a, b e c são reais ou complexos, as raízes são

 
 

Limite superior na magnitude das raízesEditar

O módulo das raízes de um quadrático   não pode ser maior que   Onde   é a proporção áurea   [3] [ importância? ]

A raiz quadrada de uma função quadrática univariadaEditar

A raiz quadrada de uma função quadrática univariada dá origem a uma das quatro seções cônicas, quase sempre uma elipse ou uma hipérbole .

E se   então a equação   descreve uma hipérbole, como pode ser visto ao quadrado de ambos os lados. As direções dos eixos da hipérbole são determinadas pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondente   . Se a ordenada for negativa, o eixo principal da hipérbole (por meio de seus vértices) é horizontal, enquanto se a ordenada for positiva, o eixo principal da hipérbole é vertical.

E se   então a equação   descreve um círculo ou outra elipse ou nada. Se a ordenada do ponto máximo da parábola correspondente   é positivo, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas se a ordenada é negativa, então ela descreve um locus vazio de pontos.

IteraçãoEditar

Para iterar uma função  , aplica-se a função repetidamente, usando a saída de uma iteração como entrada para a próxima.

Nem sempre se pode deduzir a forma analítica de  , O que significa que a enésima iteração   . (O sobrescrito pode ser estendido para números negativos, referindo-se à iteração do inverso de   se o inverso existe. ) Mas existem alguns casos analiticamente tratáveis .

Por exemplo, para a equação iterativa

 

uma tem:

 

Onde

  e  

Então, por indução,

 

pode ser obtido, onde   pode ser facilmente calculado como:

 

Finalmente, temos:

 

como a solução.

Consulte Conjugação topológica para obter mais detalhes sobre a relação entre f e g . E veja Polinômio quadrático complexo para o comportamento caótico na iteração geral.

O mapa logístico

 

com o parâmetro 2 < r <4 pode ser resolvido em certos casos, um dos quais é caótico e outro não. No caso caótico r = 4, a solução é

 

onde o parâmetro de condição inicial   É dado por   . Para racional  , após um número finito de iterações   mapeia em uma seqüência periódica. Mas quase todos   são irracionais e, para irracionais  ,   nunca se repete – não é periódico e exibe uma dependência sensível das condições iniciais, por isso é considerado caótico.

A solução do mapa logístico quando r = 2 é

 

para   . Desde a   para qualquer valor de   diferente do ponto fixo instável 0, o termo   vai para 0 enquanto n vai para o infinito, então   vai para o ponto fixo estável  

Função quadrática bivariada (duas variáveis)Editar

Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma

 

onde A, B, C, D e E são coeficientes fixos e F é o termo constante. Essa função descreve uma superfície quadrática. Configuração   igual a zero descreve a interseção da superfície com o plano  , que é um locus de pontos equivalente a uma seção cônica .

Mínimo/máximoEditar

E se   a função não tem máximo ou mínimo; seu gráfico forma um parabolóide hiperbólico.

E se   a função tem um mínimo se A > 0 e um máximo se A <0; seu gráfico forma um parabolóide elíptico. Neste caso, o mínimo ou máximo ocorre em   Onde:

 
 

E se   e   a função não tem máximo ou mínimo; seu gráfico forma um cilindro parabólico.

E se   e   a função atinge o máximo / mínimo em uma linha - um mínimo se A > 0 e um máximo se A <0; seu gráfico forma um cilindro parabólico.

Veja tambémEditar

Referências

  1. «Quadratic Equation -- from Wolfram MathWorld». Consultado em January 6, 2013  Verifique data em: |acessodata= (ajuda)
  2. Hughes-Hallett, Deborah; Connally, Eric; McCallum, William G. (2007), College Algebra, ISBN 9780471271758, John Wiley & Sons Inc., p. 205 , Search result
  3. Lord, Nick, "Golden bounds for the roots of quadratic equations", Mathematical Gazette 91, November 2007, 549.

links externosEditar

  • Weisstein, Eric W. "Quadratic". MathWorld.