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Função real

função cujo codomínio é o conjunto dos números reais ℝ

Índice

Um pouco de históriaEditar

Em Matemática, podemos pensar numa função como o instrumento que formaliza leis quantitativas (e qualitativas se pensarmos em exemplos mais gerais de funções). Essa ferramenta sempre esteve presente na humanidade, antes mesmo de ser devidamente formalizada (o que durou séculos). Como explica Caraça (1951), num dado fenômeno, a variação da quantidade gera uma qualidade nova quando o tal fenômeno atinge um ponto crítico, o que ele chama de transformar quantidade em qualidade. Por exemplo, a ebulição de um líquido, o rompimento de uma corda suportando um peso, uma epidemia de gripe, a formação de uma onda, um objeto em queda livre, etc. Essencialmente, as funções surgiram para descrever precisamente relações entre grandezas e medidas , e se tornaram, junto com os conjuntos, uma das camadas mais profundas do solo que compõe a base de toda a Matemática.

Definições e exemplosEditar

Precisamente, uma função é uma terna  onde   e   são conjuntos e   é uma lei que associa a cada elemento de   (dito domínio da função), um único elemento de   (dito contradomínio da função) e denominamos esse elemento de imagem do anterior. Por exemplo, fixado o tempo, a cada pessoa podemos associar uma única altura (ou um único peso, ou uma única digital, etc) e assim obtemos uma função altura do conjunto das pessoas no conjunto de números reais (na verdade, o conjunto imagem é restrito ao intervalo   e atingindo máximo em 2,72, que é a altura de Robert Wadlow). Uma função real (ou a valores reais) é formalmente uma função cujo contradomínio é o conjunto de números reais. A seguir consideraremos apenas funções reais cujos domínios são subconjuntos dos números reais.

Interpretação geométrica de uma função realEditar

Existem algumas formas de representar uma função real. A mais conveniente delas foi criada por Descartes no século XVII, permitindo estabelecer uma representação geométrica de uma função real a partir do plano cartesiano. Veremos alguns exemplos mais adiante, mas desde já saibamos que existem outros sistemas de coordenadas (polares, cilíndricas, esféricas, etc) e que cada um deles se torna adequado para alguns tipos de funções. Além disso, sob algumas condições especiais, é possível "transitar" entre eles através do famoso Teorema de Mudança de Variáveis.

Principais tipos de funções reaisEditar

Vejamos alguns exemplos de funções reais classificadas por suas respectivas leis de formação.


Polinomiais:  

onde cada coeficiente é um número real fixado e   é um número natural fixado.

Nesse tipo estão as funções afins, quadráticas, cúbicas, quárticas, etc. Elas formam de fato, o tipo computacionalmente mais fácil de trabalhar (e aqui nos referimos ao estudo de crescimento, decrescimento, derivadas, integrais, etc). Por outro lado, Galois mostrou que quando   , as equações que geradas por elas não são solúveis por radicais.


Além disso, os quocientes de funções polinomiais geram as funções racionais, e essas não são tão "legais" quanto as polinomiais, pois agora temos descontinuidades, como por exemplo:


Exponenciais:  

onde   é um número real positivo fixado. São mais conhecidas pela velocidade do crescimento delas, quando dizemos que algo tem "crescimento exponencial". A mais famosa delas é a função  , onde   é o número de Euler.

Além disso, sua função inversa é tão importante quanto ela, e é conhecida como função logarítmica. Dentre as diversas aplicações, estão o estudo de crescimento e decrescimento de populações. Da função exponencial ainda obtemos as funções hiperbólicas, que têm características parecidas com as funções trigonométricas usuais, como derivada e relação fundamental da trigonometria.

Facilmente podemos perceber que a derivada do seno hiperbólico é o cosseno hiperbólico e vice-versa, e que vale a relação fundamental   .


Trigonométricas:   ,  

e todas as funções geradas por quocientes, somas ou produtos dessas. Essencialmente funções trigonométricas são usadas para descrever fenômenos periódicos, devido a conveniência de termos períodos fixos para cada uma delas de  .


Computacionalmente são muito boas para derivar, no entanto, integrar funções trigonométricas quase sempre é um trabalho um pouco árduo. Junto com elas, suas inversas têm um papel tão importante quanto, principalmente nos métodos de integração e em mudanças de variáveis.

O que estudar numa função real?Editar

O estudo das funções reais deu origem a uma nova área da Matemática: a Análise Real. Nos interessa estudar o comportamento das funções e com isso queremos dizer:

Paridade (e outras simetrias): Uma função real é par quando   para todo  em seu domínio e é ímpar quando   para todo  em seu domínio. Por exemplo, as funções cosseno e cosseno hiperbólico são pares, enquanto as funções seno e seno hiperbólico são ímpares. Mas nem toda função se encaixa numa dessas duas classificações, por exemplo  . Quando uma função tem uma paridade (ou uma simetria em geral), isso permite abreviar alguns cálculos acerca dela.

Periodicidade: Seja  um número real positivo. Dizemos que uma função real é periódica de período  , quando   para todo   em seu domínio. Por exemplo, as funções seno e cosseno são periódicas de período   .

Monotonicidade: Uma função real é monótona crescente quando   implica   para todos   em seu domínio, e é monótona decrescente quando   implica   para todos   em seu domínio. Resultados muito importantes aparecem quando uma determinada função real é monótona, por exemplo quando a imagem de uma função real monótona é um intervalo (ou denso num intervalo), a função é contínua.

E os três principais interesses da Análise Real são:

Continuidade: Uma função real é contínua num ponto   do seu domínio, quando para todo  , existe   tal que   . Isso significa que a imagem inversa de uma vizinhança aberta básica do   é uma vizinhança aberta básica do   (e isso caracteriza as funções contínuas em contextos mais gerais). Se isso ocorre para todo   , então   é uma função contínua. Todos os exemplos mostrados na seção anterior (a menos das funções racionais) são funções contínuas. Em outras palavras, funções contínuas são aquelas tais que imagem inversa de conjunto aberto no contradomínio é um conjunto aberto no domínio, ou de uma forma mais lúdica (e nos restringindo a funções reais com domínios reais) são aquelas que podem ser desenhadas sem tirar a caneta do papel.

Um exemplo muito especial de função descontínua é a função característica dos números irracionais, pois ela é descontínua em todo número real. Além disso, temos um primeiro teorema da maior relevância para a Análise Real:

Teorema do Valor Intermediário: Seja  uma função contínua. Se  , então existe   tal que  .

Derivabilidade: Uma função real é derivável num ponto   do seu domínio, quando existe um número real  , tal que para todo  , existe   tal que   . Denotamos esse número por  . Quando   é derivável em todos os pontos do seu domínio, dizemos que ela é uma função derivável e obtemos dela uma função derivada que associa a cada ponto   do domínio, a sua derivada   . A expressão acima significa que o limite do quociente de Newton existe e é   , o que por sua vez significa que quanto mais nos aproximamos de  , a função se aproxima de uma reta com coeficiente angular  . Derivadas são a ferramenta mais importante para o estudo do comportamento de uma função real: a primeira derivada revela o crescimento e o decrescimento da função perto do ponto, a segunda derivada revela a concavidade e os pontos de inflexão, e os pontos críticos nos ajudam a achar os máximos e mínimos da função. Sabemos também que toda função derivável é contínua.

Além disso, obtemos o segundo teorema mais importante para a Análise Real:

Teorema do Valor Médio: Seja  uma função contínua. Se   é derivável em   , existe   tal que  .


Integrabilidade: Uma função   é integrável quando a integral inferior e superior são iguais, e essas últimas são obtidas através da somas superiores e inferiores de uma partição arbitrária do intervalo  . Um dos fatos mais importantes é o de que toda função contínua é integrável. Mas não nos enganemos: nem toda função integrável é contínua, por exemplo  é integrável mas não é contínua no zero. Outro fato muito importante é o de que se o conjunto dos pontos de descontinuidade de uma função real tiver medida nula, então ela é integrável. Isso nos permite resumir alguns desses fatos no seguinte diagrama:

Obtemos ainda o terceiro teorema de maior importância para a Análise Real:

Teorema Fundamental do Cálculo: Seja   integrável. Se   admite primitiva   , então   .


Desafios BacanasEditar

Por fim vejamos dois desafios bacanas para o leitor interessado:

Desafio 1: Dados dois conjuntos   e   e funções injetivas   e   , prove que existem conjuntos   tais que   com  . Conclua que existe uma bijeção   .

Desafio 2: Seja   uma função contínua. estritamente positiva e periódica de período 1. Prove que   .


ReferênciasEditar

  • LIMA, Elon L. Curso de Análise, vol. 1, 14ª ed., Projeto Euclides, RJ: IMPA, 2014;
  • GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo, vol. 1, 5ª ed., RJ: LTC, 2001;
  • CARAÇA, Bento de Jesus, Conceitos Fundamentais da Matemática, Lisboa, 1951.
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