Função simétrica

A função simétrica em variáveis $n$ ($x_{1},...,x_{n}$) é uma função que não é alterada por qualquer permutação de sua variável. Uma função simétrica das variáveis $n$ é uma cujo valor em qualquer n-tuplo de argumentos é o mesmo que o seu valor a qualquer permutação de que o n-tuplo. Assim, se, por exemplo, $f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},x_{3})$, a função pode ser simétrica em todas as suas variáveis, ou apenas em $(x_{1},x_{2})$, $(x_{2},x_{3})$, ou em $(x_{1},x_{3})$.

Exemplos

• Considere a função real

$f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$

Por definição, uma função simétrica com variáveis $n$ tem a propriedade que

$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=f(x_{2},x_{1},...,x_{n})=f(x_{3},x_{1},...,x_{n},x_{n-1})$ etc.

Em geral, a função é a mesma para qualquer permutação das suas variáveis. Isto significa que, neste caso,

$(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=(x-x_{2})(x-x_{1})(x-x_{3})=(x-x_{3})(x-x_{1})(x-x_{2})$

e assim sucessivamente, para todas as permutações de $x_{1},x_{2},x_{3}$

• Considere a função

$f(x,y)=x^{2}+y^{2}-r^{2}$

Se $x$ e $y$ são permutadas a função torna-se

$f(y,x)=y^{2}+x^{2}-r^{2}$

o que produz exatamente os mesmos resultados como o original $f(x,y)$.

• Considere-se agora a função

$f(x,y)=ax^{2}+by^{2}-r^{2}$::$f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.$

Se $x$ e $y$ são permutadas, a função torna-se

$f(y,x)=ay^{2}+bx^{2}-r^{2}.$

Esta função não é, obviamente, igual à original, se $1=a$$\neq$$b$, o que faz com que ela seja não-simétrica.