Função suave

Na análise matemática e topologia diferencial, as classes de diferenciabilidade são famílias de funções com certas propriedades quanto à sua continuidade e de suas derivadas.

A classe das funções suaves corresponde àquelas funções que possuem derivadas de todas as ordens.

Definição para funções reais de uma variávelEditar

Seja   um função com domínio  , então:

  •   é dita ser de classe   se for uma função contínua.
  •   é dita ser de classe   se sua primeira derivada for uma função contínua.
  •   é dita ser de classe   se sua n-ésima derivada for uma função contínua.
  •   é dita ser suave ou de classe   se for de classe   para todo  
  •   é dita ser analítica ou de classe   se puder ser escrita como uma série de Taylor em uma vizinhança de cada ponto de seu domínio. Toda função analítica é suave.

Definições para funções de várias variáveisEditar

Seja   um função com domínio  

  •   é dita ser de classe   se for uma função contínua.
  •   é dita ser de classe   se todas as suas derivadas parciais de ordem até   forem funções contínuas.
  •   é dita ser suave ou de classe   se for de classe   para todo  

ExemplosEditar

 
A função f(x)=x para x≥0 e 0 caso contrário.
 
A função f(x)=x2 sin(1/x) para x>0.
 
Um função suave não analítica.

A função

 

é contínua, mas não é diferenciável, é portanto de classe   mas não de classe  .

A função

 

é diferenciável, com derivada

 

Como o limite de   não existe quando   se aproxima de zero,   não é contínua na origem. Portanto, a função   é diferenciável mas não é de classe C1.

A função

 

é suave, e portanto de classe  , mas não é analítica, portanto não é de classe  . Ver artigo Exp(-1/x).

A função exponencial é analítica e, portanto, de classe  .

Ver tambémEditar

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