Função teta de Ramanujan

Em matemática, a função teta de Ramanujan generaliza a forma das funções tetas de Jacobi, enquanto mantém suas propriedades gerais. Em particular, o produto triplo de Jacobi toma uma forma particularmente elegante quando escrita na forma da teta de Ramanujan. A função recebe esse nome em referência a Srinivasa Ramanujan; esta foi sua última grande contribuição para a matemática.

Definição

A função teta de Ramanujan é definida como

$f(a,b)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{n(n+1)/2}\;b^{n(n-1)/2}$

para $|ab|<1.$ A identidade do produto triplo de Jacobi toma a forma

$f(a,b)=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }$

Aqui, a expressão $(a;q)_{n}$ denota o símbolo q-Pochhammer. Identidades que seguem dela incluem

$f(q,q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}={\frac {(-q;q^{2})_{\infty }(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(-q^{2};q^{2})_{\infty }(q;q^{2})_{\infty }}}$

e

$f(q,q^{3})=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n(n+1)/2}={\frac {(q^{2};q^{2})_{\infty }}{(q;q^{2})_{\infty }}}$

e

$f(-q,-q^{2})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}=(q;q)_{\infty }$

esta última sendo a função de Euler, que está intimamente relacionada com a função eta de Dedekind.

Referências

• W.N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, No.32, Cambridge University Press, Cambridge.
• George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.