Função vectorial

Em geral, pode-se dizer que uma função é uma regra que associa cada elemento de seu domínio a um elemento da sua imagem.

Gráfico da função vectorial r(t) = <2 cos t, 4 sin t, t> indicando um conjunto de soluções e o vector quando valorado próximo a t = 19.5

Uma função vetorial (ou função a valores vetoriais) é uma função matemática de uma ou mais variáveis cuja imagem é um conjunto de vetores multidimensionais, enquanto o domínio é um conjunto de números reais. A área da matemática responsável pelo estudo das funções vectoriais é a análise vectorial e estudos de tais funções podem ser encontrados em livros de Cálculo[1] e de Análise Real[2].

DefiniçãoEditar

Uma Função Vetorial é uma função, que denotaremos por f, definida num subconjunto I de R a valores num subconjunto de um espaço vetorial real, ou seja,

  : I ⇒ R³; t ⇒    

em que:

-  ,  ,   são as funções componentes de  ;

- I corresponde ao intervalo da reta de número reais tomada como o domínio da função vetorial;

- f corresponde ao conjunto de todos os valores para os quais as componentes estão definidas, possíveis de serem assumidos para t.


Um exemplo comum de uma função vectorial é quando ela depende de um único parâmetro real t, que geralmente representa o tempo, produzindo um vector espacial   como resultado. Em termos dos vectores unitários padrões  ,   e   de um espaço cartesiano, estes tipos específicos de funções vectoriais são dadas por expressões do tipo:

  •  ;
  •  

onde  ,  ,   são as funções coordenadas do parâmetro t. Estas funções são chamadas de funções coordenadas de  .

Funções vectoriais também podem ser descritas com uma notação específica:

  •  ;
  •  

Norma de uma Função VectorialEditar

Considerando uma função vetorial da forma:

r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k

Ela tem seu módulo, ou norma, definido pela raiz quadrada do produto escalar da função por ela mesma, como mostrado abaixo:

|r(t)|= (r(t) . r(t))1/2 = (x(t)2 + y(t)2 + z(t)2)1/2

Limites e ContinuidadeEditar

Dada uma função vetorial   definimos o limite de   quando   tende a   em cada uma das suas funções componentes, conforme segue:

 

Desde que os limites de cada um das funções existam. A definição de limite para funções vetoriais no espaço é análoga.

Dizemos, ainda, que   é contínua em   quando esta satisfaz as seguintes três propriedades:

  •   pertence ao domínio de  
  • existe o  
  •  

Dizemos que   é contínua quando ela é contínua em todo o seu domínio de definição. Observemos que é consequência imediata da definição que uma função vetorial é contínua se, e somente se, suas funções coordenadas são funções contínuas.

DerivadasEditar

Dada uma função vetorial   definimos a derivada de   em relação a   por:

 

Dizemos que   é derivável (diferenciável) em   quando   existe. Além disso, dizemos que   é derivável (ou diferenciável) quando ela é derivável em todo o seu domínio de definição.

Segue da definição de derivada que  . Além disso, vemos que   é derivável quando suas funções coordenadas são deriváveis. Vale resultado análogo para  .

Regras de derivaçãoEditar

Sejam   e   funções vetoriais diferenciáveis,   um vetor constante,   uma função escalar diferenciável e   um número real. Valem as seguintes regras de derivação:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

O ponto " " na fórmula acima indica o produto interno entre vetores.

Interpretação geométrica da derivada de uma função vetorialEditar

Seja   o vetor posição de uma partícula em movimento no espaço bi ou tridimensional, dado por   ou   assume-se que a função   é a velocidade da partícula e, também, um vetor tangente à trajetória espacial descrita pela partícula em cada instante do tempo t.

Visto isso, como a primeira derivada da função r(t), é a velocidade do corpo em determinado tempo t, a segunda derivada da função, a  , analogamente, corresponde à sua aceleração.

IntegraisEditar

Dada uma função vetorial  , definimos sua integral indefinida em relação a   por:

 

onde   é uma primitiva de  , i.e.  , e   é um vetor indeterminado.

Além disso, se   é qualquer primitiva de   no intervalo  , então a integral definida de   de   a   é dada por:

 

que é o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais. Observamos, ainda, que se   com   e   funções integráveis em  , então:

 .

Vale resultado análogo para  .

Categorias de Funções VetoriaisEditar

Existem duas categorias de funções vetoriais: as que dependem de somente uma variável, da forma F(t); e as que dependem de múltiplas variáveis, onde se destacam os campos vectoriais. Esses são funções vectoriais mais gerais, dependentes simultaneamente, por exemplo, do tempo e de coordenadas espaciais. Como exemplo prático de campo vectorial tem-se o campo elétrico da forma E(x,y,z,t), onde "x", "y" e "z" representam as coordenadas espaciais e "t" o tempo.

AplicaçãoEditar

O conceito de funções vectoriais é aplicado em diversos ramos da Física e das Engenharias, dentre eles tem-se os conceitos de: velocidade, aceleração, força, torque, momento linear, momento angular, campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, equação do calor, equação da onda entre outros.

Ver tambémEditar

ReferênciasEditar

  • STRAUCH, Irene, Análise Vetorial em dez aulas, Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Instituto de Matemática - UFRGS.
  • AMARAL, Luis Fernando Coelho, Análise Vetorial, Universidade Federal do Maranhão.


Ligações externasEditar

  1. Thomas, George (2012). Cálculo - Volume 2 12 ed. [S.l.]: Pearson. ISBN 9788581430874 
  2. Lima, Elon (2007). Análise no Espaço Rn. [S.l.]: IMPA. ISBN 978-85-244-0189-3 

3.