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O grafo de Cayley do grupo livre em dois geradores a e b


Em matemática, área da teoria dos grafos, um grafo de Cayley, também conhecido como grafo colorido de Cayley, diagrama de Cayley, diagrama de grupo, ou grupo colorido[1] é um grafo que codifica a estrutura abstrata de um grupo. Sua definição é sugerida pelo teorema de Cayley (nomeado em honra a Arthur Cayley) e usa um conjunto de geradores específico, usualmente finito, para o grupo. É um instrumento central em combinatória e teoria geométrica de grupos.

Famílias de grafos definidos por seus automorfismos
distância-transitivodistância-regularfortemente regular
simétrico (arco-transitivo)t-transitivo, t ≥ 2.

(se conectado)
transitivo nos vértices e nas arestasaresta-transitivo e regulararesta-transitivo
vértice-transitivoregular
grafo de Cayleyanti-simétricoassimétrico

DefiniçãoEditar

Suponha que   seja um grupo e   seja um conjunto de geradores. O grafo de Cayley   é um grafo direcionado colorido construído como se segue[2]

  • A cada elemento   de   é atribuído um vértice: o conjunto de vértices   de   é identificado com  
  • A cada gerador   de   é atribuída uma cor  
  • Para qualquer   os vértices correspondentes aos elementos   e   são unidos por uma aresta de cor   Assim, o conjunto de arestas   consiste em pares da forma   com   proporcionando a cor.

Na teoria geométrica de grupos, o conjunto   é geralmente assumido ser finito, simétrico, isto é   e não contendo o elemento identidade do grupo. Neste caso, o grafo de Cayley incolor é um grafo comum: suas arestas não são orientadas e não contém laços se e somente se  

ExemplosEditar

  • Suponha que   é o grupo cíclico infinito e o conjunto S consiste em um gerador padrão e sua inversa (-1 na notação aditiva), então o grafo de Cayley é uma cadeia infinita.
  • Similarmente, se   é o grupo cíclico finito de ordem n e o conjunto S consiste de dois elementos, o gerador padrão de G e o seu inverso, então o grafo de Cayley é o ciclo  
  • O grafo de Cayley do produto direto de grupos é o produto cartesiano dos grafos de Cayley correspondentes. Assim, o grafo de Cayley do grupo abeliano   com o conjunto de geradores que consiste em quatro elementos   é a grade no plano   enquanto que para o produto direto   com geradores semelhantes o grafo de Cayley é a grade finita   em um toro.
 
O grafo de Cayley do grupo diedro D4 em dois geradores α e β
  • O grafo Cayley do grupo diedro D4 em dois geradores α e β é descrito à esquerda. As setas vermelhas representam a multiplicação à esquerda pelo elemento α. Uma vez que o elemento β é auto-inversível, as linhas azuis que representam a multiplicação à esquerda pelo elemento β são não direcionadas. Portanto, o grafo é misto: ele tem oito vértices, oito setas, e quatro arestas. A tabela Cayley do grupo D4 pode ser derivada a partir da apresentação do grupo

 

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar

Referências

  1. Wilhelm Magnus, Abraham Karrass, Donald Solitar (1976). Combinatorial Group Theory. [S.l.]: Dover Publications, Inc 
  2. CAYLEY, Arthur (1878). «Desiderata and suggestions: No. 2. The Theory of groups: graphical representation». Amer. J. Math. 1 (2). pp. 174–176