Grupo abeliano
Em álgebra abstrata, um grupo abeliano, chamado também de grupo comutativo, é um grupo em que para quaisquer e em .[1] Em outras palavras, a aplicação da operação binária não depende da ordem dos elementos do grupo (i.e. a operação é comutativa). Os grupos abelianos receberam esse nome devido a Niels Henrik Abel.[2] Os grupos que não são comutativos são chamados não-abelianos (ou não-comutativos).
O conceito de grupo abeliano é a base de muitas estruturas algébricas fundamentais, como corpos, anéis, espaços vetoriais e álgebras. Em geral, a teoria dos grupos abelianos é mais simples do que a dos não abelianos, e os grupos abelianos finitos são bem compreendidos. Por outro lado, os grupos abelianos infinitos são um tópico de pesquisa científica atual.
NotaçãoEditar
Há duas convenções principais para os grupos abelianos - aditivos e multiplicativos.
Convenção | Operação | Identidade | Potência | Inverso | Produto |
---|---|---|---|---|---|
Adição | x + y | 0 | nx | −x | G ⊕ H |
Multiplicação | x * y ou xy | e ou 1 | xn | x −1 | G × H |
A notação multiplicativa é a notação usual para grupos, quando a notação aditiva for à notação usual para os módulos. Ao estudar grupos abelianos à parte de outros grupos, a notação aditiva é usada geralmente. [1]
Exemplos: Cada grupo cíclico G é abeliano, porque se x, y estiver em G, então xy = aman = am + n = an + m = anam = yx.
Assim os inteiros, Z, dão forma a um grupo abeliano sob a adição, como os inteiros módulo n, Z/nZ.
Cada anel é um grupo abeliano respeitando a sua operação da adição. Em um anel comutativo os elementos invertíveis (também chamados de unidades), dão forma a um grupo multiplicativo abeliano.
De fato, os números reais são um grupo abeliano sob a adição, e os números reais sem ser o zero são um grupo abeliano sob a multiplicação. Cada subgrupo de um grupo abeliano é normal, de modo que cada um de tais subgrupos dá origem a um grupo quociente. Os subgrupos, os quocientes, e as somas diretas de grupos abelianos são também abelianos.
As matrizes, mesmo matrizes invertíveis, não dão forma a um grupo abeliano sob a multiplicação porque a multiplicação de matrizes arbitrárias de ordem maior ou igual a dois não é comutativa.
Tabela multiplicativaEditar
Para verificar que um grupo finito é abeliano, uma tabela (matriz) – conhecida como uma tabela de Cayley - pode ser construída em uma forma similar a uma tabela de multiplicação. Se o grupo for denotado por , sua operação por , a entrada desta tabela é o produto . O grupo é abeliano se e somente se esta tabela é simétrica em relação à diagonal principal (isto é, se a matriz for uma matriz simétrica).
PropriedadesEditar
Se n for um número natural e x for um elemento de um grupo abeliano G escrito aditivamente, então nx pode ser definido (indutivamente) como e . Deste modo, G transforma-se em um módulo sobre o anel Z dos inteiros.[1] De fato, os demais Z-módulos podem ser identificados com os grupos abelianos.
Os teoremas sobre os grupos abelianos (isto é módulos sobre o domínio de ideais principais Z) podem frequentemente ser generalizados aos teoremas a respeito de módulos sobre um domínio de ideais principais arbitrário. Um exemplo típico é a classificação dos grupos abelianos finitamente gerados.
Se f, g: O → H de G são dois homomorfismos de grupo entre grupos abelianos, então sua soma f + g, definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x), é também um homomorfismo (isto não é verdadeiro se H for um grupo não-abeliano). O conjunto Hom(G, H) de todos os homomorfismos do grupo G para o grupo H torna-se assim um grupo abeliano.
Grupos abelianos finitosEditar
O teorema fundamental dos grupos abelianos finitos estabelece que todo grupo abeliano finito G pode ser expresso como a soma direta de subgrupos cíclicos de ordem prima. Este é um caso especial do teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados no caso em que G tem ordem livre de torção igual a 0.
O grupo cíclico de ordem mn é isomorfo ao produto direto de e se e somente se m e n são coprimos. Consequentemente qualquer grupo abeliano G pode ser escrito como um produto direto da forma
em uma das seguintes formas canônicas:
- Os números k1,...,ku são potências de primos.
- O inteiro k1 divide k2, que divide k3 e assim sucessivamente até ku.
ExemploEditar
Este teorema pode ser usado para se determinar todos os grupos abelianos de ordem 72 = 2³ 3². Tem-se o grupo cíclico .
Os demais grupos podem ser determinados pelas duas formas de escrever (como produtos de grupos cíclicos em que cada um é de ordem múltipla do anterior, ou como produtos de potências de números primos).
Como produtos de potências, temos as seguintes (outras) decomposições de 72:
- 72 = 23 x 3 x 3 = 2 x 22 x 32 = 2 x 22 x 3 x 3 = 2 x 2 x 2 x 32 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3
Como sequências de números em que o seguinte é múltiplo do anterior, temos as decomposições de 72:
- 72 = 2 x 36 = 2 x 2 x 18 = 3 x 24 = 6 x 12 = 2 x 6 x 6
Ou seja, os grupos de ordem 72 que não são cíclicos são:
Grupo abelianos de ordem pequenaEditar
Os grupos abelianos finitos são classificados facilmente: eles são grupos cíclicos ou produtos diretos de grupos cíclicos.
Ordem | Grupo | Subgrupos | Propriedades | Diagrama de ciclos |
---|---|---|---|---|
1 | grupo trivial = Z1 = S1 = A2 | - | várias propriedades são válidas trivialmente | |
2 | Z2 = S2 = Dih1 | - | simples, o menor grupo não trivial | |
3 | Z3 = A3 | - | simples | |
4 | Z4 | Z2 | ||
Klein 4 = Z2 × Z2 = Dih2 | Z2 (3) | o menor grupo não cíclico | ||
5 | Z5 | - | simples | |
6 | Z6 = Z3 × Z2 | Z3 , Z2 | ||
7 | Z7 | - | simples | |
8 | Z8 | Z4 , Z2 | ||
Z4 × Z2 | Z 2 2 , Z4 (2), Z2 (3) |
|||
Z 3 2 |
Z 2 2 (7) , Z2 (7) |
os elementos não triviais correspondem aos pontos do plano de Fano, e os subgrupos Z2 × Z2 às rectas | ||
9 | Z9 | Z3 | ||
Z 2 3 |
Z3 (4) | |||
10 | Z10 = Z5 × Z2 | Z5 , Z2 | ||
11 | Z11 | - | simples | |
12 | Z12 = Z4 × Z3 | Z6 , Z4 , Z3 , Z2 | ||
Z6 × Z2 = Z3 × Z 2 2 |
Z6 (3), Z3, Z2 (3), Z 2 2 |
|||
13 | Z13 | - | simples | |
14 | Z14 = Z7 × Z2 | Z7 , Z2 | ||
15 | Z15 = Z5 × Z3 | Z5 , Z3 | multiplicação de nimbers | |
16 | Z16 | Z8 , Z4 , Z2 | ||
Z 4 2 |
Z2 (15) , Z 2 2 (35) , Z 3 2 (15) |
|||
Z4 × Z 2 2 |
Z2 (7) , Z4 (4) , Z 2 2 (7) , Z 3 2 , Z4 × Z2 (6) |
|||
Z8 × Z2 | Z2 (3) , Z4 (2) , Z 2 2 , Z8 (2) , Z4 × Z2 |
|||
Z 2 4 |
Z2 (3), Z4 (6) , Z 2 2 , Z4 × Z2 (3) |
Relação com outros tópicos matemáticosEditar
A coleção de todos os grupos abelianos, junto com os homomorfismos entre eles, dá forma a uma categoria, o protótipo de uma categoria abeliana. Esta categoria é denominada Ab.
Muitos grupos abelianos grandes carregam uma topologia natural, tornado-se grupos topológicos.
NotasEditar
- ↑ a b c John A. Beachy, Introductory Lectures on Rings and Modules, 0.3 Abelian Groups [em linha]
- ↑ Jacobson (2009), p. 41
ReferênciasEditar
- Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I 2nd ed. [S.l.]: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1