Grupo de renormalização


Numa teoria quântica de campos, a regularização de divergências e a renormalização são geralmente vistas apenas como técnicas para tornar funções de correlações finitas. Contudo, elas possuem um significado físico muito profundo e mais importante: a descrição de teorias quânticas de campos mudam conforme a escala de energia. Essa ideia foi introduzida por Kenneth Wilson[1] e é quantificada pelas equações do grupo de renormalização.

Grupo de renormalização no espaço de momentos

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Suponha uma teoria quântica de campos com campos   e constantes de acoplamento   descrita pela ação clássica  . Vamos considerar a expansão em modos de Fourier de  

 

Usualmente, a integral é sobre todas as frequências  . Neste caso, várias funções de correlação podem não ser bem definidas. Uma forma de regularizar a teoria é introduzir uma frequência de corte ultravioleta  . Isto é, limitamos a integral ao disco

 

Chamaremos esse campos de   e diremos que ele é o campo na escala  . Então

 

Também chamaremos a constante de acoplamento de  . A função partição sobre os campos   é

 

Já que alguns dos modos de Fourier estão faltando, o campo   é praticamente constante em distâncias menores que  . Então, introduzir uma frequência de corte ultravioleta é o mesmo que introduzir um corte em pequenas distâncias. É óbvio que a introdução desse limite quebra a simetria de Poincaré. Eventualmente, vamos tomar o limite do contínuo  , onde a simetria de Poincaré é recuperada. A questão de renormalizabilidade é se podemos fazer isso mantendo as quantidades físicas numa escala de energia finita   regulares.[2]

Vamos decompor a região de integração da expansão em modos em duas partes:

  e  

Chamaremos as expansões em modos correspondentes por

 
 

onde B e A referem-se a Baixas e Altas energias. Nós gostaríamos de estudar o comportamento da teoria em energias menores que  , por exemplo, amplitudes de espalhamento de partículas com momentos  . O que procuramos então é uma ação que descreva esses efeitos somente em termos de  . Ela pode ser obtida integrando sobre   na integral de trajetória, mantendo   variável

 

Isso é chamado teoria de campos efetiva na energia  . Por vezes, quando tomamos o limite para o contínuo  , a expressão para a ação fica divergente e isso é a indicação que precisamos mudar a descrição da teoria em baixas energias. Nos casos mais drásticos, precisamos encontrar um novo conjunto completamente novo de campos e simetrias para descrever a teoria. Contudo, em muitos casos, a mudança de variáveis e parâmetros têm a forma:

 
 

Aqui,   e   são os novos campos, em termos dos quais a ação efetiva

 

é regular no limite para o contínuo. Os campos   e as contantes   na escala de corte   são chamados de campos nus e constantes de acoplamentos nuas, enquanto   e   são ditas renormalizados.

Equação de Callan-Symanzik

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Se pode olhar para essa mudança de campos e constantes de duas formas. Uma forma de ver é fixar   e variar  . Nós fixamos os campos   e constantes de acoplamento   numa escala   (com os valores medidos nessa escala) e mudamos os campos nus   e as contantes nuas  . Se pudermos mover   para o infinito sem mudar o comportamento do sistema na energia   (descrito por   e  ), então, nesse limite, obtemos uma teoria quântica de campos com simetria de Poincaré.

Uma outra forma de ver é mover  , fixando   e consequentemente   e  . Desta forma, o campo renormalizado e a constante de acoplamento renormalizada é que mudam com a escala. Essa constante é dita constante de acoplamento corredora. Em particular, se mudamos a escala de   para  , as constantes de acoplamento mudarão de   para  , onde   é a inversa da função definida anteriormente. Com efeito, definindo um campo com contribuições dos modos de Fourier entre  , podemos repetir o raciocínio e escrever  . Desta forma, uma mudança de escala induz uma mudança das contantes de acoplamento através do campo vetorial

 

Essa equação é chamada de equação de Callan-Symanzik[3] e o campo vetorial   é chamado função beta da constante de acoplamento  .

Notas e referências

  1. Wilson (1975). «The renormalization group: critical phenomena and the Kondo problem». Rev. Mod. Phys. 47 (4). 773 páginas  Parâmetro desconhecido |gfirst= ignorado (ajuda)
  2. Há maneiras de regularizar uma teoria sem quebrar a invariância por simetrias clássicas. Em particular, o método de regularização dimensional é comum na prática.
  3. C. G. Callan, K. Symanzik (1970). «Small Distance Behavior in Field Theory and Power Counting.». Comm. Math. Phys. 18. 227 páginas