Grupo diedral

Em matemática e, em especial, na teoria dos grupos, um grupo diedral é o grupo de simetrias de um polígono regular de $n$ lados qualquer, que se representa quer por $D_{n}$, quer por $D_{2n}$. Sua presentação é dada por $D_{n}=\langle x,y:x^{n}=1,y^{2}=1,(xy)^{2}=1\rangle$ e $D_{\infty }=\langle x,y:y^{2}=1,(xy)^{2}=1\rangle .$

Grafos de ciclos

$D_{1}$	$D_{2}$	$D_{3}$	$D_{4}$	$D_{5}$	$D_{6}$	$D_{7}$

Propriedades

• O grupo possui $2n$ elementos: o elemento neutro, $n-1$ rotações próprias e $n$ reflexões.
• Para $n>2,$ o grupo não é abeliano.
• O subgrupo das rotações é isomorfo ao grupo cíclico $\mathbb {Z} _{n},$ e é um subgrupo normal

Exemplo

As cinco simetrias não triviais do triângulo equilátero.

Seja ABC um triângulo equilátero. Dentre as suas simetrias, temos:

• e: o elemento neutro, ou seja, a transformação identidade que leva cada ponto do triângulo nele mesmo.
• $\rho _{1}$ a rotação que leva A em B, B em C e C em A.
• $\rho _{2}$ a rotação que leva A em C, C em B e B em A.
• $\sigma _{A}$ a simetria em torno da altura que passa por A.
• $\sigma _{B}$ a simetria em torno da altura que passa por B.
• $\sigma _{C}$ a simetria em torno da altura que passa por C.

Não existem outras simetrias. Considerando * como a composição de funções, temos, por exemplo, que $\sigma _{A}*\rho _{1}$ leva A em C, B em B e C em A, ou seja, $\sigma _{B}=\sigma _{A}*\rho _{1}.$ Por outro lado, $\rho _{1}*\sigma _{A}=\sigma _{C},$ ou seja, o grupo não é abeliano. Completando as operações, chegamos à tabela:

Grupo de Simetrias do Triângulo Equilátero

$\star$	e	$\rho _{1}$	$\rho _{2}$	$\sigma _{A}$	$\sigma _{B}$	$\sigma _{C}$
e	e	$\rho _{1}$	$\rho _{2}$	$\sigma _{A}$	$\sigma _{B}$	$\sigma _{C}$
$\rho _{1}$	$\rho _{1}$	$\rho _{2}$	e	$\sigma _{C}$	$\sigma _{A}$	$\sigma _{B}$
$\rho _{2}$	$\rho _{2}$	e	$\rho _{1}$	$\sigma _{B}$	$\sigma _{C}$	$\sigma _{A}$
$\sigma _{A}$	$\sigma _{A}$	$\sigma _{B}$	$\sigma _{C}$	e	$\rho _{1}$	$\rho _{2}$
$\sigma _{B}$	$\sigma _{B}$	$\sigma _{C}$	$\sigma _{A}$	$\rho _{2}$	e	$\rho _{1}$
$\sigma _{C}$	$\sigma _{C}$	$\sigma _{A}$	$\sigma _{B}$	$\rho _{1}$	$\rho _{2}$	e