Grupo especial unitário

Em matemática, o grupo especial unitário ou grupo unitário especial de grau n, denotado por SU(n), é o grupo das matrizes complexas n por n unitárias e com determinante um. A operação de grupo é o produto de matrizes.

O grupo especial unitário é um subgrupo do grupo formado pelas matrizes com determinante um, e um subgrupo do grupo unitário; ambos são subgrupos do grupo linear geral GL(n,$\mathbb {C}$).

O caso mais simples, SU(1), é um grupo trivial, tendo um único elemento. O grupo SU(2) é isomorfo ao grupo dos quatérnios com valor absoluto um, que por sua vez é difeomorfo a esfera de dimensão 3. Como os quatérnios unitários podem ser utilizados para representar rotações no espaço tridimensional, temos um homomorfismo sobrejetivo da SU(2) no grupo de rotações SO(3), cujo centro é $\{+I,-I\}$.

Propriedades

O grupo especial unitário SU(n) é um grupo de Lie clássico de dimensão n²-1. Topologicamente, é compacto e simplesmente conexo. Algebricamente, é um grupo de Lie simples, o que significa que a sua Álgebra de Lie é simples. O centro do grupo SU(n) é isomorfo ao grupo cíclico $\mathbb {Z} _{n}$. O seu grupo de automorfismos exteriores, para n ≥ 3, é $\mathbb {Z} _{2}$, enquanto o grupo dos automorfismos exteriores de SU(2) é o grupo trivial.

A álgebra SU(n) algebra é gerada por n² operadores, que claramente satisfazem a relações entre comutadores (para i,j,k,l = 1, 2, ..., n)

$\left[{\hat {O}}_{ij},{\hat {O}}_{kl}\right]=\delta _{jk}{\hat {O}}_{il}-\delta _{il}{\hat {O}}_{kj}$

Além disto, o operador

${\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}{\hat {O}}_{ii}$

satisfaz

$\left[{\hat {N}},{\hat {O}}_{ij}\right]=0$

o que implica que o número de geradores independentes de SU(n) é n²-1.

Geradores

SU(2)

Para SU(2), os geradores são proporcionais às matrizes de Pauli

$\sigma _{1}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.$

SU(3)

O análogo para as matrizes de Pauli para SU(3) são as matrizes de Gell-Mann

$\lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}$
$\lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}$	$\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}$

Os geradores de SU(3) são definidos por T pela relação

$T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}.\,$

onde as matrizes λ Gell-Mann, são o SU(3) analógas das matrizes de Pauli para SU(2):

Estas, por sua vez, seguem a seguinte relação:

• $\left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{c=1}^{8}{f_{abc}T_{c}}\,$

onde f é uma constante estrutural, e tem valor dado por

$f^{123}=1\,$

$f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\frac {1}{2}}\,$

$f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,$

• $\operatorname {tr} (T_{a})=0\,$

Referências

• Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)

Ligações externas

• «Physics 558 - Lecture 1, Winter 2003»