Grupo especial unitário

grupo das matrizes unitárias com determinante unitário

Em matemática, o grupo especial unitário ou grupo unitário especial de grau n, denotado por SU(n), é o grupo das matrizes complexas, n por n, unitárias e com determinante igual a um. A operação de grupo é o produto de matrizes.

O grupo especial unitário é um subgrupo do grupo formado pelas matrizes com determinante um, e um subgrupo do grupo unitário; ambos são subgrupos do grupo linear geral GL(n,).

O caso mais simples, SU(1), é um grupo trivial, tendo um único elemento. O grupo SU(2) é isomorfo ao grupo dos quatérnios com valor absoluto um, que por sua vez é difeomorfo a esfera de dimensão 3. Como os quatérnios unitários podem ser utilizados para representar rotações no espaço tridimensional, temos um homomorfismo sobrejetivo da SU(2) no grupo de rotações SO(3), cujo centro é .

Propriedades

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O grupo especial unitário SU(n) é um grupo de Lie clássico de dimensão n2-1. Topologicamente, é compacto e simplesmente conexo. Algebricamente, é um grupo de Lie simples, o que significa que a sua Álgebra de Lie é simples. O centro do grupo SU(n) é isomorfo ao grupo cíclico  . O seu grupo de automorfismos exteriores, para n ≥ 3, é  , enquanto o grupo dos automorfismos exteriores de SU(2) é o grupo trivial.

A álgebra SU(n) algebra é gerada por n2 operadores, que claramente satisfazem a relações entre comutadores (para i,j,k,l = 1, 2, ..., n)

 

Além disto, o operador

 

satisfaz

 

o que implica que o número de geradores independentes de SU(n) é n2-1.[1]

Geradores

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Para SU(2), os geradores são proporcionais às matrizes de Pauli

 

O análogo para as matrizes de Pauli para SU(3) são as matrizes de Gell-Mann

     
     
   

Os geradores de SU(3) são definidos por T pela relação

 

onde as matrizes λ Gell-Mann, são o SU(3) analógas das matrizes de Pauli para SU(2):

Estas, por sua vez, seguem a seguinte relação:

  •  
onde f é uma constante estrutural, e tem valor dado por
 
 
 
  •  

Referências

  1. R.R. Puri, Mathematical Methods of Quantum Optics, Springer, 2001.
  • Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2 

Ligações externas

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