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A flor Bauhinia blakeana representada na bandeira de Hong Kong tem simetría C5; a estrela interior de cada pétala tem simetria D5.

Em geometria e cristalografia, um grupo pontual é um grupo de simetrias geométricas (grupo de isometria) que mantém constante pelo menos um ponto fixo. Os grupos pontuais podem existir em um espaço euclidiano de qualquer outra dimensão, e cada grupo pontual na dimensão d é um subgrupo do grupo ortogonal O(d).[1][2] Os grupos pontuais podem ser considerados como um conjunto de matrizes ortogonais M que transformam um ponto x em um ponto y:

y= M.x

onde a origem é o ponto fixo. O elementos dos grupos pontuais podem ser: rotações (determinante de M= 1) rotações impróprias, reflexões, rotações-reflexões, ou roto-reflexões (determinante de M= -1). Todos os grupos pontuais das rotações de dimensão d são subgrupos do grupo ortogonal especial SO(d).

Os grupos pontuais discretos em mais de uma dimensão se agrupam em famílias infinitas, porém pelo teorema de restrição cristalográfica e por um dos teoremas de Bieberbach, cada número de dimensões só tem um número finito de grupos pontuais que são simétricos em relação a uma retículo com esse número de dimensões. Estes são os grupos pontuais cristalográficos.

Referências

  1. Donald E. Sands; Introduction to Crystallography; Courier Corporation, 1969. pg 69
  2. Christopher Hammond; The Basics of Crystallography and Diffraction; Oxford University Press, 2001. pg 79