Hélice (geometria)

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Um exemplo de hélice natural, utilizada pela videira.

Na geometria, a hélice ou hélix (plural: hélices) (do grego έλικας/έλιξ, hélix) é uma forma tridimensional que pode ser encontrada em molas e na chamada 'rosca' de parafusos e porcas. Na natureza, pode ser encontrada em alguns vegetais, sob a forma de gavinha, e no DNA.

Em matemática, a hélice é descrita como uma curva no espaço tridimensional que combina um movimento de rotação em torno de um ponto com um movimento de translação deste ponto. As três equações a seguir definem uma hélice em coordenadas retangulares:

Hélice

Em coordenadas cilíndricas (r, , h), a mesma hélice é descrita por:


Uma hélice circular é definida quando os parâmetros de x(t) e y(t), para coordenadas retangulares, possuem a mesma frequência angular e são multiplicadas pela mesma constante. Dessa forma, a função no eixo x e no eixo y, devem formar uma projeção de um círculo no plano xy. A função no eixo z descreve o sentido que a hélice se orienta, "subindo" ou "descendo". Caso a constante que multiplica a variável t seja positiva, a hélice "sobe" ao longo do tempo, e caso seja negativa, a hélice " desce" ao longo do tempo. O passo de uma hélice pode ser calculado como a constante c multiplicada por 2π, a distância entre duas voltas consecutivas. Para exemplificar, iremos utilizar a função paramétrica abaixo:

Generalização de hélices circularesEditar

Pode-se generalizar a descrição de hélices por meio de dois vetores diferentes. Um desses vetores é chamado de vetor de Darboux, que pode ser descrito por: D(s) = (τ(s)/κ(s))t(s) + b(s). Entretanto, para que seja possível generalizar uma hélice, é necessário que o (τ(s)/κ(s)) é constante.

Uma segunda maneira de generalizar a hélice é por meio das curvas de Bertrand, que podem ser feitas pelas proposição a seguir:

*Uma curva γ : I → R 3 com κ(s) 6= 0 é chamada uma curva de Bertrand se existe uma curva γ : I → R 3 tal que as retas normais principais de γ e γ em s ∈ I são iguais. Neste caso, γ é chamada um par de Bertrand de γ.*



Referências:

  1. ANÁLISE VETORIAL em dez aulas, Profª Irene Strauch, Departamento de Matemática Pura e Aplicada. Instituto de Matemática. UFRGS.
  2. https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3601186/mod_resource/content/1/13.3%20Comprimento%20de%20Arco%20%28teoria%29.pdf
  3. http://w3.ufsm.br/ppgmat/images/dissertacoes/2012/Dissertao_Marcia_Viaro_Flres_Fev_2012.pdf